20080327高一数学(2.3-2变量间的相关关系)

2.3-2变量间的相关关系

2.3 2.3.1 2.3.2

变量间的相关关系 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关

第二课时

2.3-2变量间的相关关系

问题提出

1 5730 p 2

t

1. 两个变量之间的相关关系的含义如 何？成正相关和负相关的两个相关变量 的散点图分别有什么特点？ 自变量取值一定时，因变量的取值带有 一定随机性的两个变量之间的关系. 正相关的散点图中的点散布在从左下角 到右上角的区域，负相关的散点图中的 点散布在从左上角到右下角的区域

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2.观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本 数据的散点图，这两个相关变量成正相关. 我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄 增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增 加呢？对此，我们从理论上作些研究.脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

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2.3-2变量间的相关关系

知识探究(一):回归直线思考1:一组样本数据的平均数是样本数 据的中心，那么散点图中样本点的中心 如何确定？它一定是散点图中的点吗？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

(x , y )

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思考2:在各种各样的散点图中，有些散点图 中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的 分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量 的样本数据的散点图中的点的分布有什么特 点？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

这些点大致分布在一条直线附近.

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脂肪含量

思考3:如果散点图中的点的分布，从整 体上看大致在一条直线附近，则称这两 个变量之间具有线性相关关系，这条直 线叫做回归直线.对具有线性相关关系的 两个变量，其回归直线一定通过样本点 的中心吗？40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

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思考4:对一组具有线性相关关系的样本 数据，你认为其回归直线是一条还是几 条？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

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思考5:在样本数据的散点图中，能否 用直尺准确画出回归直线？借助计算机 怎样画出回归直线？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

2.3-2变量间的相关关系

知识探究(二):回归方程

在直角坐标系中，任何一条直线都有相 应的方程，回归直线的方程称为回归方 程.对一组具有线性相关关系的样本数 据，如果能够求出它的回归方程，那么 我们就可以比较具体、清楚地了解两个 相关变量的内在联系，并根据回归方程 对总体进行估计.

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思考1:回归直线与散点图中各点的位置 应具有怎样的关系？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近

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思考2:对于求回归直线方程，你有哪 些想法？脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

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思考3:对一组具有线性相关关系的样 本数据：(x1,y1),(x2,y2),…,(xn, Ù y = bx +a yn),设其回归方程为 可以 用哪些数量关系来刻画各样本点与回 归直线的接近程度？(xi,yi)

(x1, y1)(x2,y2)

(xn,yn)

可以用 |其中Ù

y i - y i | 或 (y i - y )

Ù

Ù 2 , i

y i = bx i + a .

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思考4:为了从整体上反映n个样本数 据与回归直线的接近程度，你认为选 用哪个数量关系来刻画比较合适？(xi,yi) (x1, y1) (x2,y2) (xn,yn)

i ) Q ( yi yi 1

n

2

( y1 bx1 a) ( y2 bx2 a) 2 2

( yn bxn a)

2

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思考5:根据有关数学原理分析，当b

(xi 1 n

n

i

x )( yi y )

2 ( x x ) i i 1

n

x yi 1 n i i 1

n

i

nx y , a y bx

2 2 x nx i

i )2 为最小，这样 时，总体偏差 Q (yi yi 1

就得到了回归方程，这种求回归方程的 Ù 方法叫做最小二乘法.回归方程 y = bx + a 中，a,b的几何意义分别是什么？

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思考6:利用计算器或计算机可求得年龄和 人体脂肪含量的样本数据的回归方程为 Ù y = 0.577x - 0.448 ,由此我们可以根据 一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分 比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含 量的百分比约为多少？脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

20.9%