弧弦圆心角弦心距公开课

24.1.3 弧、弦、圆心角

点击概念顶点在圆心的角,叫圆心角， 如 AOB , 圆心角 AOB 所对 所对的弦为AB; 的弧为 AB, 过点O作弦AB的垂线, 垂足 为M, 则垂线段OM的长度,即圆 心到弦的距离，叫弦心距 , 图1 中，OM为AB弦的弦心距。O

B M A

图1

1、判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。

①

②

③

④

2、下列图中弦心距做对了的是(

)

┐

①

②

┐

③

④

3、下面我们一起来观察一下：在⊙O中 有哪些圆心角？并说出圆心角所对的弧， 弦。A

B

o C

知识探究 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为 什么？ A′ B′ B B′ A A′

B · O

· O

A

∠AOB=∠A’OB’,

AB=A’B’,

AB=A’B’,

定理这样，我们就得到下面的定理：

A′ B′

B

弦AB和弦 A′B′ 对应的弦 心距有什么关 系？

O

·

A

圆心角定理：在同圆或等圆中，

相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦相等， 所对弦的弦心距也相等。 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

⌒ ⌒

可推出

思考:如图: ∠AOB=∠COD, 那么 ⌒ ⌒ 吗? AB=CD

ACE O

F

B D

弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等

弦所对的圆心角相等

在同圆或等圆中 如果弦相等

那么

弦所对的弧相等弦的弦心距相等

在同圆或等圆中 如果弦心距相等

弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等

延伸 圆心角定理及推论整体理解： B (1) 圆心角 知 α (2) 弧 一 A Oα 得 (3) 弦 三 (4) 弦心距

A′

B′

判断：

1、等弦所对的弧相等。2、等弧所对的弦相等。

(× )(√ )

3、圆心角相等，所对的弦相等。(

×)

4、弦相等，所对的圆心角相等。(×)

1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、 CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

(1)如果AB=CD,那么

⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。

(2)如果OE=OF,那么

⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ (3)如果AB=CD 那么

______________,__________,____________。 ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF(4)如果∠AOB=∠COD,那么 _________,________,_________。 ⌒ ⌒

OE=OF

AB=CD AB=CD

例题例1 如图在⊙O中，AB=AC ,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC. AB=AC ∴ AB=AC, △ABC等腰三角形.证明：∵

⌒

⌒

⌒

⌒

A

又∠ACB=60°,∴ △ABC是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.B

O

·C

随堂训练1.如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE⌒ ⌒ ⌒

∠COD=35°

求∠AOE的度数.E

解： ∵ BC=CD=DE⌒ ⌒ ⌒

D C

BOC

= COD= DOE=35B

A

O

·

AOE 180 3 35 75

随堂训练

2、如 图，已知AB、CD为⊙O 的两条弦， ⌒ ⌒ AD=BC 求证AB=CD.C B O D A

3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O 的半径，弦BE∥OA。

⌒ ⌒ 求证：AC=AEA

C

O

E

B