D1_2无穷小无穷大,极限运算法则

复习x → x0

lim f ( x) = Alim f ( x) = A

当 x → x0时, f ( x)无限地接近常数A. 当 x → x0 时, f ( x )无限地接近常数A.

x→ x0x → x0

lim+ f ( x) = A

当 x → x 时, f ( x)无限地接近常数A.当 x → ∞ 时, f ( x)无限地接近常数A.

+ 0

lim f ( x) = Ax →∞ x →+∞

lim f ( x) = A lim f ( x) = A

当 x → +∞ 时, f ( x)无限地接近常数A.当 x → ∞ 时, f ( x)无限地接近常数A.目录 上页 下页 返回 结束

x → ∞

定理 :x→ x0x →∞

lim f ( x) = A

x→ x0

lim + f ( x) = lim f ( x) = Ax→ x0x → ∞

lim f ( x) = A

x →+∞

lim f ( x) = lim f ( x) = A

若 lim f ( x ) = A ,则x →∞

直线 y = A 为曲线

的水平渐近线 .

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思考与练习

(6). 若极限lim f ( x)存在, 是否一定有 lim f ( x) = f ( x0 ) ?x→ x0x→ x → x0

a x2 , x ≤ 1 且 lim f ( x) 存在, 则 (7). 设函数 f (x) = 2 x + 1, x > 1 x→1

a=

3

.

第四节 目录

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第四节 无穷小与无穷大一、 无穷小 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系

第一章

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一、 无穷小定义1 定义 . 若 为

(或x → ∞)

时, 函数

则称函数

(或x → ∞)例如 :

时的无穷小 . 无穷小

函数 函数 当 函数

当

时为无穷小; 时为无穷小; 当 时为无穷小.

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定义1. 定义 若 则称函数 为

(或

x → ∞ ) 时, 函数(或

则

x → ∞ ) 时的无穷小 . 无穷小

说明: 说明 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )x → x0

lim f ( x) = A

f ( x ) = A + α , 其中α 为 x → x0时的无穷小量 .

对自变量的其它变化过程类似可证 .

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二、 无穷大定义2 任给 定义 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 正数 ① 则称函数 当

( x > X ) 的 x , 总有

( x → ∞ ) 时为无穷大, 记作( lim f ( x) = ∞ )x →∞

若在定义中将 ①式改为 则记作x → x0 ( x →∞ )

( f ( x) < M ) ,

( lim f ( x) = ∞)目录 上页 下页 返回 结束

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 例如 函数 但 不是无穷大 !

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例.

说明: 说明 若 为曲线

则直线 x = x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线

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三、无穷小与无穷大的关系定理2. 定理 在自变量的同一变化过程中, 若 若

1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. . 为无穷小, 且 f ( x) ≠ 0 , 则 f ( x) (x

说明: 说明 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.

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第五节 极限运算法

则一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则

第一章

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一、 无穷小运算法则定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 类似可证: 有限个 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定 不一定是无穷小 ! 说明 无限个 不一定 例如， 例如，

1 1 1 lim n 2 + 2 +L+ 2 =1 n →∞ n + π n + 2 π n + nπ ( P57 题 4 (2) )

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定理2 定理 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 习题1-5,3. 求下列极限 习题 ，

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例1. 求 解:sin x y= x

1 lim = 0 x →∞ x利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .

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二、 极限的四则运算法则定理 3 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有 推论: 推论 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B, 且 f ( x) ≥ g ( x), 则 A≥ B . ( P46 定理 5 ) 提示: 提示 令 ( x) = f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 说明 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .

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定理 4 . 若 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , 则有 提示: 提示 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 说明 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] = C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x )]n = [ lim f ( x ) ] n 例2. 设 n 次多项式x → x0

( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证

lim Pn ( x) = Pn ( x0 ).证: lim Pn ( x) =x → x0

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