高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (3)

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7.4 多元复合函数的求导法则7.4.1 复合函数的中间变量均为 多元函数的情形

7.4.27.4.3 7.4.4 7.4.5

复合函数的中间变量均为 一元函数的情形 某些中间变量又是复合函 数中的自变量的情形全微分形式不变性 复合函数的高阶偏导数

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7.4.1

复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理7.5 如果函数 u ( x , y ) 及 v ( x , y ) 都

在点 ( x , y ) 具有对 x 及对 y 的偏导数， 函数 z f ( u, v ) 在对应点u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数 (z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在点 ( x , y ) 的两个偏导数存在，

且有

z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y

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证 设 x 获得增量 x,

则

u ( x x, y ) ( x, y ),

v ( x x, y ) ( x, y ),由于函数z f ( u, v ) 在点( u, v ) 有连续偏导数

z z z u v 1 u 2 v , u v 当 u 0 , v 0 时， 1 0 , 2 0 z z u z v u v 1 2 t u x v x x x

z z z u z v lim . x x 0 x u x v x

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u复合图

x

zv

y

类似地再推广， u ( x, y )、 v ( x, y )、 设

w w( x, y) 都在点 ( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)] 在对应点

( x , y ) 的两个偏导数存在， 且可用下列公式计算 z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y

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例1 解

z x y2v

xy

z z , 求 , . x y2

设 z u , 其中 u x y, v xy,

z z u z v vu v 1 2 x u v y ln u x u x v x 2 x 2 y ( x 2 y ) xy 1 y ( x 2 y ) xy ln( x 2 y ).

z z u z v vu v 1 u v x ln u y u y v y xy ( x 2 y ) xy 1 x ( x 2 y ) xy ln( x 2 y ).

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例2 求 zx , 解

z f ( x sin y , ye x ), 设 f (u, v)有连续偏导数,

zy.

sin y f 2 ye x , z x f1z y f1 x cos y f 2 e x .

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7.4.2

复合函数的中间变量均为一元函数的情形.

如果函数 u (t ) 及 v (t ) 都在点 t 可导， 函数 z f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏导数 ， 则复合函数 z f [ ( t ), ( t )] 在对应 点 t 可导，且

有

d z z d u z d v d t u d t v d t复合图

z

u

t

v

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上述的结论可推广到中间变量多于两个的情况.设z f ( x , y , z ), u ( t ), v ( t ), w ( t ), 则

d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t复合

图

z

u v w

t

dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt

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例3

设u=xey-z,

而x=t2,

y=sint,

z=t3+2t,求

d u u d x u d y u dz 解 d t x d t y d t z d t=ey-z2t+xey-z cost–xey-z (3t2+2)= ey-z (2t+xcost–x(3t2+2))

du . dt

= ey-z (t2cost+2t–2t2–3t4).

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7.4.3

某些中间变量又是复合函数 中的自变量的情形

如果函数 v ( x, y )在点 ( x , y ) 具有对 x及对y 的偏导数， 函数 z f ( x, v ) 在对应点 ( x, v ) 具有连续 偏导数，则复合函数 z f [ x, ( x, y )] 在点 ( x , y ) 的两个偏导数存在，且有

z f f v , x x v x z f v . y v y

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复合图

z

v

yx

u 1, 1中，u ( x, y ) x, v ( x, y ), 由于 x u 0, 这就得到上述结果. y

上述情形实际上是情形1的一种特例，即在情形

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特殊地 z f ( u, x , y ) 其中 u ( x , y ) 即 z f [ ( x , y ), x , y], 令 v x ,

区 别 z f u f z f u f , . 类 x u x x y u y y 似 两者的区别 把 z f ( u, x , y ) 把 复 合 函 数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不中的 y 看作不变而对x 的偏导数变而对 x 的偏导数

v 1, x

w 0, x

v 0, y

w y, w 1. y

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2 y 例4 设 z f ( x , x y,3 x e ), 其中f 有连续偏

z z , . 导数，求 x y解 设 u =x2y, v =3x–ey,则

z f f u f v f f f 2 xy 3 x x u x v x x u v f1 2 xyf 2 3 f 3

z f f u f v f 2 f y x e 0 v y x u y v y u x 2 f 2 e y f 3 .

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例5 设 z yf ( x y ), 其中f (u)可微,证明2 2

z z x y x z. x y y证 注意到 f 中只有一个中间变量 u , 故 f 对u 求导时应该使用导数符号而不是偏导数符号.由z =yf(u), u=x2–y2,有

z z f 2 y 2 f (u), (u), 2 xyf y x z z 2 (u) xf (u) 2 xy 2 f (u), y x 2 xy f x y x x xf (u) yf (u) z. y y

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例6 已知函数u f ( x, y, z ), y g ( x, t ),

u u t h( x, z ), 其中f , , 可微，求 , . x z解 复合图

xz

u

y

t

u f f y f f t x x y x x y x t x

f f f f1 f 2 ( g1 g 2 h1 ), x y x y t x u f y f f 2 g 2 h2 f 3 . z y z z

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7.4.4 全微分形式不变性设函数 z f ( u, v )具有连续偏导数， 则有全微分

z z d z d u d v; 当 u ( x, y )、v ( x,

y ) 时， u v z z d x d y. 有 dz x y

全微分形式不变形的实质：无论 z 是自变量 x、y 的函数或中间变量u、v 的函数， 它的全微分形式是一样的.