2019届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案： 热点探究训练2 三角函数与解

1 热点探究训练(二)

三角函数与解三角形中的高考热点问题

1．(2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.

(1)求AB 的长；

(2)求cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫A －π6的值． [解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，

所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫452＝35.2分 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，

所以AB ＝AC ·sin C sin B ＝6×223

5

＝5 2.5分 (2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，

于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.7分

又cos B ＝45，sin B ＝35，

故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.9分

因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.

因此，cos ⎝

⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620.12分

2 2．(2016·山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把

得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6的值． [解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2

＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1

＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1

＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3＋3－1，3分 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，

得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，

所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).6分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3＋3－1，8分 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，

得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，

即g (x )＝2sin x ＋3－1，

所以g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.12分 3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；

(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫A 2＝0，a ＝1，

3 求△ABC 面积的最大值．

[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22

＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分

由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，

可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分

由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，

可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分

所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z ).5分 (2)由f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.7分

由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，9分

即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.

所以△ABC 面积的最大值为2＋3

4.12分

4．(2017·郑州二次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，

c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－C . (1)求角A 的值；

(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．

[解] (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，3分

4 化简得sin A ＝32，故A ＝π3或A ＝2π3.5分

(2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，7分

故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫B －π6.9分 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2，

所以2b －c ＝23sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫B －π6∈[3，23).12分 热点探究训练(三) 数列中的高考热点问题

1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .

[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，

因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.2分

因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.

即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.

因为公比q ≠0，所以q ＝2.

所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *).5分

(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，

所以a n b n ＝(2n －1)2n ，7分

则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①

2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.②

由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1

＝2＋2×4(1－2n －1)1－2

－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，

5 所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.12分

2．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝3a n a n ＋1

，试求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，

则f ′(x )＝2ax ＋b .

由f ′(x )＝6x －2， …… 此处隐藏：2595字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……