清华大学微积分课件 21简单常微分方程(一)

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作业P227 习题 8.1 1(2)(4)(6)(8). 4. P236 习题 8.2 1(2)(4)(6).2010-11-2 1

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第二十一讲 简单常微分方程(一) 一一、微分方程的基本概念 二、一阶常微分方程2010-11-2 2

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一、微分方程的基本概念十七世纪末，力学、天文学、物理 十七世纪末，力学、天文学、 学及工程技术提出大量需要寻求函数 学及工程技术提出大量需要寻求函数 关系的问题 在这些问题中， 的问题。 关系的问题。在这些问题中，函数关 系不能直接写出来， 系不能直接写出来，而要根据具体问 题的条件和某些物理定律， 题的条件和某些物理定律，首先得到 一个或几个含有未知函数的导数的关 系式， 微分方程， 系式，即微分方程，然后由微分方程 和某些已知条件把未知函数求出来。 和某些已知条件把未知函数求出来。2010-11-2 3

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[例1] 一个质量为 m 的小球 ,系在线的一端 , 线的另一端系在墙上 , 线的长度等于 l .将 小球拉开一个小角度 , 松手使小球摆动 . 求小球的运动规律 .[解] 设小球线速度为 v (t ). 解o

θ

重力 4

: 切向分力F1= mg sinθ阻力 : F2 = µ v2010-11-2

切向分力

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根据牛顿第二定律,得到 根据牛顿第二定律 得到 dθ dv m = µ v mg sinθ 注意到 v(t ) = l dt dt 2 d θ µ dθ g 从而有 + + sin θ = 0 2 dt m dt l

当θ << 1 时, sin θ ≈ θ , 所以有微分方程 初始条件 定解条件2010-11-2

定 解 问 题5

d θ µ dθ g + + θ =0 2 dt m dt l dθ = θ1 θ ( t ) t =0 = θ 0 , dt t =02

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定义1: 含有未知函数的导数的方程 定义 含有未知函数的导数的方程 称为微分方程 微分方程. 称为微分方程一元函数,含有未知函数的 未知函数是一元函数 含有未知函数的导数 未知函数是一元函数 含有未知函数的导数 的微分方程称为常微分方程 常微分方程. 的微分方程称为常微分方程 例如d 2θ µ dθ g + + θ =0 2 dt m dt l

未知函数是多元函数 含有未知函数的 未知函数是多元函数,含有未知函数的 多元函数 偏导数的微分方程称为偏微分方程. 的微分方程称为偏微分方程 偏导数的微分方程称为偏微分方程2010-11-2 6

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定义2: 定义 ( 微分方程的阶 ) 未知函数的导数的最高阶数称为 微分方程的阶. 微分方程的阶 例如d θ µ dθ g + + θ =0 2 dt m dt l2

二阶

n 阶微分方程的一般形式dy d y F ( x , y, , , )=0 n dx dx2010-11-2

n

(1 )7

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定义3: 线性与非线性) 定义 ( 线性与非线性未知函数及其各阶导数都是一次整式的微分 方程称为线性微分方程 线性微分方程. 方程称为线性微分方程n 阶线性常微分方程的一 般形式 n n 1 d y d y a0 ( x ) + a1 ( x ) + n n 1 dx dx

dy + an 1 ( x ) + an ( x ) y = f ( x ) dx 不是线性方程的称为 非线性微分方程 dy 例如 = 2 y 是一阶非线

性微分方程 dx2010-11-2 8

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定义4: ( 微分方程的解) 定义 微分方程的解如果把函数 y = y ( x ) 代入方程 (1) 后 使方程成为恒等式 , 则称函数 y = y ( x ) 是微分方程 (1)的一个解 .

微分方程的通解： 微分方程的通解： 通解n 阶常微分方程 ( 1 )的包含 n 个独立的 任意常数的解

y = f ( x, C1, , Cn )9

称为微分方程的通解 称为微分方程的通解. 通解2010-11-2

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例如 : 一阶微分方程

du + ku = A dt

A kt 函数 u( t ) = + e 是一个解 k

对于任意常数 C , 单参数函数族

A kt u( t ) = + Ce k是微分方程的通解

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du kt kt (∵ + ku = Cke + A + Cke ≡ A) dt

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通解有时也写成隐式形式 通解有时也写成隐式形式

Φ [ x , y( x ), C1 , C 2 , , C n ] = 0称为微分方程的通积分 称为微分方程的通积分 微分方程的特解 特解： 微分方程的特解： 一个常微分方程的满足定解条件 一个常微分方程的满足定解条件 的解称为微分方程的特解 的解称为微分方程的特解 称为微分方程的2010-11-2 11

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例如 : 一阶微分方程定解问题 du + ku = A dt u(0 ) = 1 A u( t ) = 通解 + C e kt k A A u(0) = + C = 1 C = 1 k k 特解2010-11-2

A A kt u(t ) = )e + (1 k k12

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n 阶微分方程的定解问题 n dy d y F ( x, y, , , )=0 n dx dx y = y0 x = x0 dy = y1 dx x = x 0 有n个 定解条件 d n 1 y = y n 1 n 1 dx x = x0

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定义5: 与积分曲线族) 定义 ( 积分曲线 与积分曲线族常微分方程的每一个解 一元函数 都是一个 y = f ( x ) 或是 F ( x, y ) = 0 .

( 隐式解 ), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲线

通解 y = f ( x , C ) 对应于 xy 平面上的一族曲线， 平面上的一族曲线， 称为积分曲线族2010-11-2

积分曲线族

.14

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二、 一阶常微分方程的 初等积分法 所谓初等解法,就是用不定积分的方法求解 所谓初等解法, 常微分方程. 常微分方程. 初等解法只适用于若干非常简单的一阶常 微分方程, 微分方程,以及某些特殊类型的二阶常微分 方程. 方程2010-11- …… 此处隐藏：903字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……