第二章 泊松过程new

第二章 泊松过程泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 滤过泊松过程 1

计数过程： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事 件A”的总数，且N(t)满足下列条件：

1. N(t) ≥0;2. N(t)取正整数值； 3. 若s<t,则N(s) ≤N(t);

4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内(S>0),事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关，而与t无关。

泊松过程定义1: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0; 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0,有 n t ( t )P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,

泊松过程同时也是平稳增量过程 E[ X (t )] 表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率 t 或强度

泊松过程定义2: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0; 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式：

P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)例如： 电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数；

火车站某段时间内购买车票的旅客数； 机器在一段时间内发生故障的次数； 保险的理赔4

定理 ： 定义1和定义2是等价的。

例子：设交换机每分钟接到电话的次数X(t)是强度为λ的泊松过 程。求 (1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。

泊松过程的数字特征设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞),且s<t,有

E[ X (t ) X (s)] D[ X (t ) X (s)] (t s)由于X(0)=0,所以

m X (t ) E[ X (t )] t2 X (t ) D[ X (t )] t

RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s( t 1)一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为

BX (s, t ) min( s, t )6

泊松过程的无记忆性： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间 隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。 即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的 时间至少在将来s2时刻的概率。

时间间隔的分布

设{N(t),t≥0}是泊松过程，令N(t)表示t时刻事件A发生的次数，Tn表示 从第(n-1)次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。8

定理： 设{X(t),t≥0}为具有参

数λ的泊松过程，{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列， 则随机变量Tn是独立同分布的均值为1/λ的指数分布。 对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为

1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t 0 0,概率密度为

e t , f Tn (t ) 0,

t 0 t 09

等待时间的分布

等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布

Wn

Ti 1

n

i

因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。

定理： 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则 Wn服从参数为n与λ 的Г 分布，其概率密度为

t ( t ) n 1 , e fWn (t ) (n 1) 0,

t 0 t 0

例：已知仪器在[0,t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程，若仪器振动k(k>=1)次就会出现故障，求仪器在时刻t0正 常工作的概率。

到达时间的条件分布假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。 泊松过程 平稳独立增量过程

可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有

P{W1 s | X (t ) 1 ? }分布函数

0, s FW1| X (t ) 1 (s) , t 1, 1 , fW1 | X ( t ) 1 ( s ) t 0,

s 0 0 s t s t0 s t 其它12

分布密度

定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。

例题

设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t,对于0<k<n,求 P{X(s)=k|X(t)=n}例题

设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条 件概率密度函数。

到达时间的条件分布的说明1、设{X(t),t≥0}是泊松过程，在给定[0,t]内事件A发生n次的条件下，这n 次到达时间W1,W2, …,Wn ,每一个都是U[0,t]的一个样本，且相互独 立。 2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t],如Sn Wi U i , U i ~U [0, t ]i 1 i 1 n n

3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值，将其按大 小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点，是一 种产生齐次泊松过程的方法

例题 设{X1 (t),t ≥0}和{X2 (t),t ≥0}是两个相互独立的泊松过程，它们在单位时间 W 内平均出现的事件数分别为λ1和λ2,记 为过程X1(t)的第k次事件到达时 W 间， 为过程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P(W W )(1) k (2) 1 (1) k (2) 1

例题

有线电视公司从客户签约时刻起开始收费，每单位时间收费1元，设签约 客户为参数为λ的泊松过程，求

公司在(0,t]时间段内的平均总收入。 …… 此处隐藏：837字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……