【高三总复习】2013高中数学技能特训：9-4 数学归纳法(理)(人教B版) 含解析 Wo

【高三总复习】2013高中数学技能特训：9-4 数学归纳法(理)(人教B版) 含解析 Word版含答案]

9-4数学归纳法(理) 基础巩固强化

111

1.用数学归纳法证明1＋23＋ ＋<n(n∈N*，n>1)时，第

2－1一步应验证不等式( )

1

A．1＋2<2 11

C．1＋2＋3 [答案] B

[解析] ∵n∈N*，n>1，∴n取的第一个数为2，左端分母最大11

的项为3B.

2－1

2．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )

A．n＝6时该命题不成立 C．n＝4时该命题不成立 [答案] C

[解析] ∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．

[点评] 可用逆否法判断．

3．(2012·深圳市明德外语实验学校测试)用数学归纳法证明：12

n 2n2＋1 ＋2＋ ＋n＋ ＋2＋1＝k到k＋1”3

2

2

2

2

11

B．1＋23<2 111

D．1＋23＋4B．n＝6时该命题成立 D．n＝4时该命题成立

时，左边应加( )

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A．k2

C．k2＋(k＋1)2＋k2 [答案] D

B．(k＋1)2 D．(k＋1)2＋k2

[解析] 当n＝k时，左边＝12＋22＋ ＋k2＋ ＋22＋12，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋ ＋k2＋(k＋1)2＋k2＋ ＋22＋12，∴选D.

1111

4．已知Sk＝＋＋2kk＝1,2,3， )，则Sk＋1

k＋1k＋2k＋3等于( )

1

A．Sk＋

2 k＋1 11

C．Sk＋

2k＋12k＋2[答案] C [解析] Sk＋1＝

11111

＋ ＋＝＋

k＋1 ＋1 k＋1 ＋22 k＋1 k＋2k＋3

11

B．Sk＋－

2k＋2k＋111

D．Sk＋＋2k＋12k＋2

1111111

＋ ＋＝＋＋ ＋2k＋＋－＝Sk＋

2k＋2k＋1k＋22k＋12k＋2k＋111－2k＋12k＋2

5．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是( )

A．an＝3n－2 C．an＝3n－1 [答案] B

[解析] a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2. 1111

6．已知f(n)＝nn( )

n＋1n＋2A．f(n)中共有n项

B．an＝n2 D．an＝4n－3

B．f(n)中共有n＋1项

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C．f(n)中共有n2－n项 [答案] D

D．f(n)中共有n2－n＋1项

[解析] f(n)的分母从n开始取自然数到n2止，共有n2－(n－1)＝n2－n＋1项．

7．如果不等式2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．

[答案] 5

[解析] 当n＝1时，2>2不成立， 当n＝2时，4>5不成立． 当n＝3时，8>10不成立 当n＝4时，16>17不成立 当n＝5时，32>26成立

当n＝6时，64>37成立，由此猜测n0应取5.

n 3n＋1

8．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋ ＋(n＋n)＝n2∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于________．

[答案] 3k＋2

[解析] [(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋ ＋[(k＋1)＋(k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋ ＋(k＋k)]

＝[(k＋1)＋k]＋[(k＋1)＋(k＋1)]－(k＋1) ＝3k＋2.

9．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3， )，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．

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[答案] n(n＋1)

[解析] 当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，

故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个． 13

10．已知函数f(x)＝3x－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f ′(an

1111＋1)．试比较＋1的大小，并说明理

1＋a11＋a21＋a31＋an由．

[解析] ∵f ′(x)＝x2－1，an＋1≥f ′(an＋1)， ∴an＋1≥(an＋1)2－1.

∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，及a2≥(a1＋1)2－1得，a2≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，

由此猜想：an≥2n－1.

下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；

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②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，ak

＋1

≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1. 11

即1＋an≥2.∴≤1＋an2

n

∴

11111111＋＋ ＋＋ ＋≤2＋2＋2＋ ＋2＝1＋a11＋a21＋a31＋an

1n

1－(2<1.

能力拓展提升

x

11.若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈N*)，则f(1)＋

1＋xf(2)＋ ＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋ ＋fn(1)＝( )

A．n nC. n＋1[答案] A

123n

[解析] 易知f(1)＝2f(2)＝3f(3)＝4 ，f(n)＝fn(x)

n＋1xxx

＝fn－1(f(x))得，f2(x)＝f3(x)＝ ，fn(x)＝，从而f1(1)

1＋2x1＋3x1＋nx1111

＝2f2(1)＝3，f3(1)＝4 ，fn(1)＝，

n＋1

所以f(n)＋fn(1)＝1，故f( …… 此处隐藏：5575字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……