连续介质力学作业(第一章)习题(2)

连续介质力学

d) 以e1,

e2为基，计算该质点处应变能密度W

e) 计算σ的球应力张量和偏应力张量，并计算偏应力张量的主值和主方向。

4. A,B是二阶张量，证明：A:B tr(AT B) tr(A BT) tr(B AT) tr(BT A)

5. (1)如果二阶张量S是反对称张量，对于任意一阶张量x，证明x S x 0 (2) S是二阶反对称张量，Α是二阶对称张量，证明A:S 0

R

6. 万有引力计算公式F G*M*m*

~

r

~3

，其中G为万有引力常数，M、m为两物体质

量，R为连接两物体的矢量，以M为坐标原点建笛卡尔坐标系，r R。m坐标为 x,y,z ，

~

~

则R xi yj zk。证明：在r 0处，引力场的散度为0。

~

~

~

~

7. 对于任一向量场Fv F v,v,v

1

1

2

~

~

3

g

1

~

F

2

v

1

,v,v

23

g

2~

F

3

v

1

,v,v

23

g

3~

，证明它

的散度等于它的梯度的迹。divF tr F

~

~

8. 设u，v为任意两个向量，I1、 I2、 I3为张量的三个不变量。证明：

~

~

I1u v tru v u v

~

~

~

~

~

~

I2u v 0

~

~

I3u v 0 提示：I3

~

~

13

tr Itr Itr

3

2

1

2