3.3函数的单调性、凹凸性与极值

高等数学(微积分) 第三张 导数的应用

3.3函数的单调性、凹凸性 与极值 函数单调性的判别法 曲线的凹凸性及其拐点 函数的极值及其求法 曲线的渐近线 函数图形的描绘 补充：最值的求法2.4 导数的应用(118) 1

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一、函数单调性的判别法单调性是函数的重要性态之一. 它既决定着函数递增和递减的状况, 又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、 分析描绘函数的图形等. 在第一章, 函数在区间上单调增加(或减少)的几何解释: 在 某个区间上对应曲线是上升或下降的. 如y y

f ( x2 )

f ( x1 ) y= (x)

f ( x1 )

y= (x)f ( x2 )

x1

o

x2

x2.4 导数的应用(118)

x1 o

x2

x2

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用定义来判断函数的单调性常用的有比较法、比值法等. 但繁! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.y

f ( x ) 0 B y f ( x)A

y

f ( x ) 0 A y f ( x)B

o

a

b

x

o a

b x

各点处切线的斜率为正

各点处切线的斜率为负

若 y = f (x)在区间(a, b)上单调递增若y = f (x)在区间(a, b)上单调递减2.4 导数的应用(118)

f ( x ) 0 f ( x ) 03

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定理1

(函数单调性的判定方法) 设 y = (x) 在区间[a, b]上

连续, 在区间(a, b)内可导, 则对 x (a, b),(1)若 f ( x ) 0, 则 (x) 在区间[a, b]内单调递增加;

(2)若 f ( x) 0,则 (x) 在区间[a, b]内单调递减少.即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.证

x1 , x2 (a, b), x1 x2 ,

由已知f ( x)在[ x1 , x2 ]上连续, 在( x1 , x2 )内可导,根据拉格朗日中值定理, 有f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) x2 x1 (其中 ( x1 , x2 ) )4

2.4 导数的应用(118)

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f ( x ) 0 ,有 f ( ) 0,则 f ( x2 ) f ( x1 )

f ( x2 ) f ( x1 ) 0 x2 x1

故由x1 , x2 的任意性, f ( x) 在(a, b) 内单调递增;

f ( x) 0 , 有 f ( ) 0,则 f ( x2 ) f ( x1 )

f ( x2 ) f ( x1 ) 0 x2 x1

故由x1 , x2 的任意性，f ( x) 在(a, b) 内单调递减.

2.4 导数的应用(118)

高等数学(微积分) 第三张 导数的应用

注1 研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 哪些

区间内递减. 由定理 1 对可导函数的单调性, 可根据导数的正负情况予以确定. 注2 定理 1 的结论对其他各种区间 (包括无穷区间) 也成立. 例1 讨论函数y e x x 1的单调性. 解 y e x 1. 又 D : ( , ).

在( ,0)内, y 0, 函数单调减少；在(0, )内,y 0,

函数单调增加 .6

2.4 导数的应用(118)

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注 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一 区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别 一个区间上的单调性. 注 如果函数 f ( x ) 0(或 f ( x ) 0) 且等号仅在个别点处 成立, 则定理1仍成立. 如y f ( x) x f ( x) 3 x 0( f

(0) 0)3 2

yy x3

但 y x 3 在 ( , ) 单调增加.

注 反过来, 若 (x)在(a, b)内可导且单调 增加(或减少), 则 (x)在(a, b)内必有f ( x ) 0 (或 f ( x) 0)

o

x

若 f ( x0 ) 0, 则称点 x0 为函数 f(x) 的驻点.2.4 导数的应用(118) 7

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利用定理1可以讨论函数的单调区间.

问题 一般地,函数在定义区间上不是单调的，如何判 断函数在各个部分区间上的单调性?若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称 为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点是单调区间的分界点. 方法 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点

来划分函数 f ( x )的定义区间 , 然后判断各区间内导 数的符号.注

f ( x )不存在的点就是使导数 f ( x ) 没意义的点.2.4 导数的应用(118) 8

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确定函数 y = (x) 的单调性的一般步骤是:(1) 确定函数定义域; (2) 确定函数的驻点及 f ( x ) 不存在的点, 以这些点为分界

点划分定义域为多个子区间;(3)确定 f ( x ) 在各子区间内的符号, 从而定出 (x)在各子 区间的单调性.3 2 例2 求函数 f ( x) 2 x 9 x 12 x 3 的单调区间.

解

函数 f(x) 定义域为( , )

f ( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 由 f ( x) 0 解得 x1 1, 2.4x导数的应用(118) 2 29

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将(- ,+ ) 分成 ( ,1],[1, 2],[2, ) 列表讨论如下:

xf ( x )

( , 1)

1

(1, 2)

2

(2, )

f ( x)

故 ( ,1],[2, ) 是 (x)的递增区间. [1, 2] 是递减区间.(端点可包括也可不包括)

讨论函数

f ( x ) ( x 1) x

2 3

的单调性.10

解 函数定义域为 ( , )

2.4 导数的应用(118)

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2 1 5x 2 3 f ( x ) x x ( x 1) 3 3 3 x2 3

2 而 x2 0是 f ( x) 的. 不可导点. 由 f ( x ) 0 有 x1 5 2 2 这两个点将 ( , ) 分为三个子区间 ( , 0) 0, ) , ) ( , ( , 5 5 列表讨论如下:

xf ( x )

( ,0)

0

(0,

2 ) 5

2 5

2 ( , ) 5

(0,

2 )内递减. 511

f ( x)2 ( , 0),( , ) 内 (x)是递增 …… 此处隐藏：1589字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……