浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

湖州师范学院理学院 刘 东

摘要：本文主要研究基矩阵在线性代数中矩阵乘法运算的几何意义、乘法运算律、线性空间等方面的应用。

关键词：基矩阵，矩阵运算，线性空间 中图分类号：O151.2 文献标识码： A

1．引言

矩阵理论是线性代数的核心内容之一，也是高等数学后续学习的基础。因此，矩阵理论的学习是学生学好线性代数的关键。而在矩阵理论的教学中，基矩阵的有关应用往往被忽略，本文详细的谈谈基矩阵在线性代数教学中的应用。

所谓的基矩阵就是这样的一些矩阵，它们只有一个元素为1，其余元素为零，这些矩阵记为{Eij， 1 i m,1 j n}。之所以称它们为基矩阵，是因为任何一m n矩阵都可以被这些基矩阵唯一地线性表出。事实上，基矩阵的有关性质和运算在后续的学习中，特别是在《矩阵论》、《表示论》、《李代数》、《量子群》等学科的学习中起重要作用。即使它们在线性代数的学习中也起着较大的作用，这篇论文主要研究基矩阵的运算在矩阵乘法运算定义、运算律、线性空间等方面的应用，而这些正是现在的各种高等代数教材与辅导书中普遍所欠缺的。

2. 在学习矩阵乘法时的应用

2.1 解释矩阵乘法的几何意义

矩阵乘法的法则一直是学生难以理解的，所以在教学过程中往往是以直接灌输为主。有些论文（如）也讨论了矩阵乘法的一些几何意义，但都是从变换的合成的角度来说明矩阵乘法（本质上是矩阵乘法与线性变换乘法的对应关系，见[1],[2]）。如果在教学中结合基矩阵的乘法法则，来解释矩阵乘法的几何意义，则学生更容易理解。容易看出，基矩阵的乘法公式如下：

EijEkl

jk

Eil---------------------------(1)

用图形表示如下：

图1

用Eii表示第i个顶点，而当i j时，用Eij表示连接第i与j顶点的有向箭头， 则上述乘法法则反映的就是图论中道路的乘法。 作者简介： 刘东(1968---), 男，理学博士，副教授，主要从事李代数研究工作和代数学教学工作。本论文受浙江省自然科学基金(No. Y607136)、浙江省钱江人才计划(No. 07R10031)和浙江省新世纪教改项目“高师院校数学系专业基础课的教学与教材改革”资助。

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应用此法则也可以倒推出矩阵乘法法则：设A (aij)mn,B (bkl)np，则

A

a

1 i m1 j n

ij

Eij,B

b

1 k m1 l n

kl

Ekl

，从而

n

AB (

a

1 i m1 j n

ij

Eij)(

b

1 k m1 l n

kl

Ekl)

a

1 i m1 k m1 j n1 l n

ij

bklEijEkl

a

1 i m1 k m1 j n1 l nn

ij

bkl

jk

Eil

( a

1 i m1 l p

k 1

ik

bkl)Eil

这就是矩阵乘法法则：设AB (cij)mp，则cij

a

k 1

ik

bkj

。这样学生能更好地理解

矩阵乘法的意义。

2.2 说明一些运算律

矩阵乘法的运算律与普通的乘法有很大不同，学生难以理解，如转用基矩阵来阐述则显得通俗易懂。例如从（1）很容易看出矩阵乘法交换律不再成立，乘法有非零因子。尤其强调的是在验证结合律时，如应用基矩阵则非常通俗易懂。因为任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合，所以只需对基矩阵验证乘法满足结合律就可以了。而对于基矩阵，验证是很容易的：

(EijEkl)Epq

jk

EilEpq jk lpEiq

Eij(EklEpq) lpEijEkq jk lpEiq

或者从图1中也容易直接看出。

3. 求矩阵代数Mn(P)的中心

求矩阵代数Mn(P)的中心问题是高等代数的一道典型习题(见[3])，按照教材体系学生很难想到用基矩阵，如果我们在教学矩阵乘法之前介绍“任意一个矩阵都是基矩阵的线性组合”的思想，则“与任意矩阵可换”就转化为“与任意基矩阵可换”的等价命题。而根据A

a

1 i n1 j n

ij

Eij

与任意Ekl可换，我们得到

a

1 i n1 j n

ij

EijEkl

a

1 i n1 j n

ij

EklEij

，

即

a

1 i n

ik

Eil

a

1 j n

kj

Ekj

.从而得到当i j时，aij 0且aii ajj. 因此，A 是一数

量矩阵，即矩阵代数Mn(P)的中心为{kE|k P}。更进一步，在求矩阵代数的各种特殊子代数（见下一节）的中心时，也需要借助这些基矩阵。

4. 刻画一些特殊矩阵构成的子空间

浅析基矩阵在线性代数教学中的应用

众所周知，刻画线性空间主要是刻画它的基，而基矩阵在刻画各种矩阵生成的线性空间起着重要作用。如在数域P上所有n n阶矩阵空间中，经常研究下列几种重要的子空间（矩阵代数Mn(P)的子代数）： （1） 所有n n阶迹为零矩阵构成的子空间：它的一组基为

{Eii Ei 1,i 1,1 i n 1, Eij,1 i j n}，其维数为n2 1。

（2） 所有n n阶上三角矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eij,1 i j n}，

其维数为n(n 1)。

21

（3） 所有n n阶对称矩阵构成的子空间：它的一组基为{Eii,1 i n,

Eij Eji,1 i j n

}，其维数为n(n 1)。

21

1

（4） 所有n n阶反对称矩阵构成的子空间：它的一组基为

{Eij Eji,1 i j n}，其维数为n(n 1)。

2

上述这些特殊子空间在后续学 …… 此处隐藏：879字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……