2014人教A版数学必修五《基本不等式》1课件

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第2课时

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复习基本不等式

若a>0，b>0，则 ≥ a b _____ 2 ab

a b 通常我们把上式写作： ab≤ (a 0, b 0) 2

当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围：

a>0,b>0

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2. 利用基本不等式求最值

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”

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均值不等式的运用

2 例１．已知函数 f ( x) x x 0 ，求函数 x 的最小值和此时x的取值． 变式1：去掉 x 0成立吗？

变式2：把 x 0 改为 x 2 成立吗？ 2 变式3：若把 f x x x 0 改为 x 2 f x x x 1 应如何求解呢？

x 1

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1 １．已知函数 f ( x) x ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．

运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．

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3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x 2 求函数的最小值．

用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．

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4 3 求函数y sin 其中 （0， ] sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4, 函数的最小值为4。

用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

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当堂检测

优化方案58页例1的（3）

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练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值． 最小值为8

2 3.已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x

1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y

2 2

的最小值．

3 2 2

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典例剖析

题型一 分式形函数的最值求法

x2＋7x＋10 【例 1】 求函数 y＝ (x>－1)的最小值． x＋1

解：∵x>－1，∴x＋1>0. x2＋7x＋10 x＋1 2＋5 x＋1 ＋4 ∴ y＝ ＝ x＋1 x＋1 4 ＝(x＋1)＋ ＋5≥2 x＋ 1 4 x＋1 ＋5＝9. x＋1

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4 当且仅当 x＋1＝ ，即 x＝1 时，等号成 x＋1 立． x2＋7x＋10 ∴当 x＝ 1 时，函数 y＝ (x>－ 1)取 x＋1 得最小值为 9.

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ax2＋ bx＋ c 方法点评： 形如 f(x)＝ (m≠ 0， a≠ 0) mx＋ n

mx＋ n 或者 g(x)＝ 2 (m≠ 0， a≠ 0)的函数，可以把 ax ＋ bx＋ c

mx＋ n 看成一个整体，设 mx＋ n＝t，那么 f(x)与 g(x) 都可以转化为关于 t 的函数．

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x＋ 2 1．求函数 y＝ 的最大值． 2x＋5

解：设 t＝ x＋ 2≥ 0，从而 x＝ t2－ 2. t ∴ y＝ 2 (t≥ 0)． 2t ＋ 1 当 t＝ 0 时， y＝ 0.

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当 t>0 时， y＝

1 1 2t ＋ t

≤ 2

1

2 ＝ . 1 4 2t· t

1 2 3 当且仅当 2t＝ ，即 t＝ ， x＝－ 时， y t 2 2 2 有最大值 ymax＝ . 4