第23届全国中学生物理竞赛决赛试题与详细解答(6)

6 天梯的质心位于天梯的中点，它到地心的距离

r C = R 0 +R l －R 02

（5） 根据质心运动定理，有

F =mr C ( 2πT

)2 （6） 式中T 为地球自转的周期．

由（3）、（4）、（5）、（6）式可得

( R l －R 0)( R 2

l + R 0R l －GMT 2

2π2R 0) = 0 R l －R 0= 0 ，表示天梯无长度，不符合题意，符合题意的天梯长度满足的方程为

R 2

l + R 0R l －GMT 2

2π2R 0= 0 （7） 因为GM =R 2

0g ，所以得 R 2

l + R 0R l －R 0gT 2

2π2= 0 （8） 【从跟随地球一起转动的参考系看，也可得到（8）式．这时，天梯在地球引力和惯性离心力的作用下，处于平衡静止状态，地球引力仍为（3）式，天梯所受的惯性离心力可由下面的方法求得：仍把天梯看作由很多长度为△r i 的小段组成，则第i 小段受的惯性离心力为

f i ′ =ρ△r i ( 2πT

)2r i （4′） 对所有小段求和，就得到整个天梯所受的惯性离心力

F ′= 1n i i f ='∑=1n i ρ=∑( 2πT

)2r i △r i （5′） （5′）式中所示的和可以用图2过原点的直线y =ρ( 2πT

)2r 下的一个带阴影的梯形面积来表示，即

0l ρ(

2πT )2 R l ρ( 2πT )2 R 0图2