《志鸿优化设计》2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习题库：第七章不等式

课时作业35 基本不等式及其应用

一、选择题

1．(2012陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )．

A．a＜vab B．vab

a＋ba＋b

C．ab＜v＜ D．v

22

2．下列命题中正确的是( )．

1

A．函数y＝x＋的最小值为2

xx2＋3

B．函数y＝2

x＋2

4

C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－43

x4

D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－43

x1a3．已知不等式(x＋y) y恒成立，则正实数a的最小值为( )． x＋y≥9对任意正实数x，A．2 B．4 C．6 D．8

23

4．设a，b满足2a＋3b＝6，a＞0，b＞0，则＋的最小值为( )．

ab

258A． B．

6311

C． D．4

3

11k

5．设a＞0，b＞0，且不等式＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )．

aba＋b

A．0 B．4 C．－4 D．－2

3

6．若0＜x＜，则y＝x(3－2x)的最大值是( )．

2

999A． B． C．2 D．1648

7．若a＞0，b＞0，且(a－1)(b－1)＜0，则logab＋logba的取值范围是( )． A．(－∞，－2] B．[2，＋∞) C．[－2,2]

D．[－2,0)∪(0,2] 二、填空题

2

8．已知关于x的不等式2x7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为

x－a

__________．

9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________.

10．当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，表达式3x＋27y＋2的最小值为__________． 三、解答题

bc

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC边上的高AD＝BC，求cb

的取值范围．

12．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值；

(2)求x＋y的最小值．

参考答案

一、选择题

2ab－a2－abab－a2a2－a22ab2ab2ab

1．A 解析：v＝ab.因为a＝11a＋b2a＋ba＋ba＋ba＋b＋ab

2ab

＝0＞a，即v＞a.故选A.

a＋b

1

2．D 解析：y＝x{x|x≠0}，当x＞0时，有最小值2，当x＜0时，有最

x

大值－2，故A不正确；

x2＋31y＝x＋2＋≥2，

x＋2x＋2

2

x＋2≥2，

所以取不到“＝”，故B不正确；

4∵x＞0时，3x＋3x＝3，

xx42

当且仅当3x＝，即x＝3时取“＝”，

x4

3x＋ 有最大值2－43，故C不正确，D正确． ∴y＝2－ x

3．B 解析：∵x，y∈(0，＋∞)，a＞0，

1ayax

＝1＋a1＋a＋2a(当且仅当yax时等号成立)， ∴(x＋y) xyxy

1＋a≥9对任意正实数x，因此，若使不等式(x＋yy恒成立，则需1＋a＋a＝a＋ xy1)2≥9，解得a≥4，即正实数a的最小值为4.故选B.

ab

4．A 解析：由a＞0，b＞0,2a＋3b＝6得＝1，

32

2323 ab

∴ ab ab 32

23ba＝＋ 32ab131325≥＋2＝＋2＝. 6ab66

a6

当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝

ab52325.

ab6

(a＋b)2(a＋b)2ba11k

5．C 解析：由a＞0，b＞0＋＋0，得k≥－而＝＋2≥4(a

aba＋bababab

＝b时取等号)，

(a＋b)2

所以－≤－4.

ab

(a＋b)2

因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.故选C.

ab

33

6．D 解析：∵0＜x＜∴－x＞0.

223

∴y＝x(3－2x)＝2·x 2x

x＋3x 29≤2 2＝，

8

2339

当且仅当x＝－x，即x＝时，取“＝”，∴函数y＝x(3－2x).

248

7．A 解析：当a＞0，b＞0，且(a－1)(b－1)＜0时，logab＜0，logba＜0， 所以logab＋logba＝－[(－logab)＋(－logba)]， 而(－logab)＋(－logba)≥2， 故有logab＋logba≤－2.故选A. 二、填空题 32228 解析：因为x＞a，所以2x2(x－a)＋2a≥2(x－a2a＝2x－ax－ax－a

33

2a＋4(当且仅当x＝a＋1时取等号)，即2a＋4≥7，所以a≥a的最小值为.

22

400

9．20 解析：该公司一年购买货物400吨，每次都购买x次，

x

400

又运费为4万元/4万元，又一年的总存储费用为4x万元，

x

4004001 600

则一年的总运费与总存储费用之和为4＋4x万元，·4＋4x≥160，当4x，即x

xxx

＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

10．20 解析：由x＋3y－4＝0，得x＋3y＝4， ∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2 ≥3·3＋2＝

＋

23＋2＝3＋2＝20，

当且仅当3x＝3y且x＋3y－4＝0，

2

即x＝2，y＝时取“＝”．

3

三、解答题

222

bcb＋ca＋2bccos Aa211

11．解：因为＋＝2cos A，S△ABC＝AD·BC2，

cbbcbcbc22

11

又a2＝S△ABC＝sin A， 22

2abcπ

所以sin A，故＋sin A＋2cos A5sin(A＋φ)5(当且仅当A＋φ＝时等号成

bccb2

立)．

bc又2＝2， cbcb

b所以2≤＋5，

cbbc

即[25]． cb

12．解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，

x>0，

得 y>0， 3xy＝x＋y＋1.

(1)∵x＞0，y＞0，

∴3xy＝x＋y＋1≥xy＋1. ∴3xy－2xy－1≥0， 即3(xy)2－2xy－1≥0， ∴(3xy＋1)(xy－1)≥0.

∴xy≥1.∴xy≥1.

当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0，

x＋y2. ∴x＋y＋1＝3xy≤ 22

∴3(x＋y)－4(x＋y)－4≥0. ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0. ∴x＋y≥2.

当且仅当x＝y＝1时取等号， ∴x＋y的最小值为2.