华中师范大学 高等数学 D3_2洛必塔 (2)

第三章 第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点

机动

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一、 函数单调性的判定法定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减) . 任取

( f ( x) 0) , 则证: 无妨设

由拉格朗日中值定理得

0故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 确定函数令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2

的单调区间.

( x) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: f

xf (x) f (x)故

( , 1)

10

(1 , 2)

2 0 1

( 2 , ) y

2

2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1

的单调减区间为 (1 , 2).机动 目录

o上页

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x结束

说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,y y 3 x2

o y

x

2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,o

y x3x

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例2. 证明

时, 成立不等式

sin x 2 证: 令 f ( x) , x 且证 x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x

x 1

tan x

因此

从而证明 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲线的凹凸与拐点定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,

(1) 若恒有图形是凹的; (2) 若恒有

B

则称

则称

A 图形是凸的 .连续曲线上有切线的凹凸分界点

y y y

称为拐点 .

o o o机动

x 1 2 x x x11 xx1 xx2 x22 x x22目录 上页 下页 返回 结束

定理2.(凹凸判定法) 设函数 (1) 在 I 内 (2) 在 I 内 证: 则

在区间I 上有二阶导数 在 I 内图形是凹的 ;

则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得

f ( 1 ) x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 f ( x1 ) f ( ) f ( ) x1 ) ( ) 2 ! ( x1 2 2 2 2 x1 x2 ( x1 x2 )( x2 x1 x2) f ( 2 ) ( x2 x1 x2) 2 f ( x2 ) f ( ) f 2! 2 2 2 2 两式相加

x1 x2 f ( x1) f ( x2 ) 2 f ( ) 2f ( x1 ) f ( x2 ) 2

(1 2!

x2 x1 2 [f 2

)

( 1 ) f ( 2 )]

当 f ( x) 0时,

x1 x2 f( ), 2

说明 (1) 成立; (2) 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 判断曲线3 解: y 4 x ,

的凹凸性.

y

故曲线说明:

在

上是向上凹的.

o

x

1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:

若曲线 的一个拐点.机动 目录

或不存在,

但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点( x0 , f ( x0 )) 是曲线

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例4. 求曲线 解: y 1 x 3 2 3

的拐点.2 , y 9 x 5 3

( , 0) 0 不存在 y y 凹 0因此点 ( 0 , 0 ) 为

曲线

x

(0 , )

凸

的拐点 .

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例5. 求曲线 解: 1) 求 y

的凹凸区间及拐点.

y 12 x3 12 x 2 ,

36 x( x 2 ) 3(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27

2) 求拐点可疑点坐标

令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别

x ( , 0) y y 凹

0 0 1

(0 , 2 ) 3

( 2 , ) 3 02 3 11 27

凸

凹

( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结1. 可导函数单调性判别

f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I2.曲线凹凸与拐点的判别

在 I 上单调递增在 I 上单调递减

f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I

+

–

拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考与练习1. 设在 [0 ,1] 上 f ( x) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)

或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )

( A) ( B) (C ) ( D)

f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)

提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及

f (1) f (0) f ( ) (0 1)机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 曲线 y 1 e

x2

( 1 , 的凹区间是 21 , ) 2

1 ) 2

;

凸区间是 ( , 1 ) 及 ( 2拐点为 ( 1 ,1 e 2 2 1

;

) .

提示: y 2 e

x2

(1 2 x 2 )

作业P151 3 (1),(7) ; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14第五节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题

x 1 1.求证曲线 y 2 有位于一直线的三个拐点. x 1 1 2x x2 ( x 2 1) ( x 1)2 x 证明：y 2 2 ( x 1) ( x 2 1) 2

( 2 2 x) ( x 2 1) 2 (1 2 x x 2 ) 2( x 2 1) 2 x y ( x 2 1) 4 2( x 3 3x 2 3x 1) ( x 2 1) 3 2( x 1)( x 2 3)( x 2 3) ( x 2 1) 3机动 目录 上页 下页 返回 结束

令 y 0 得

x1 1 , x2 2 3 ,从而三个拐点为

x3 2 3

(1 , 1) , ( 2 3 , 1 3 ) , ( 2 3 , 1 3 ) 8 4 3 8 4 3因为 1 3 8 4 3

1

2 3 1所以三个拐点共线.

1 3 8 4 3

1

2 3 1

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2 2 证明: 令F ( x) sin x x , 则 F (0) 0, F ( ) 0 2 2 F (x) cos x

2 . 证明: 当 0 x

时， sin x 有

2

x.

F (x) F (x) 是凸函数