第二章_1张量基础

弹性力学课件

第二章 张量知识基础

物理规律可用不同的数学方法描述。用张量表示物理量及其满足的基本方程具有形式简洁和统一、物理意义明确的特点，更重要的是还能清楚地反映出物理规律的客观性，即和坐标系的选择无关。因此，张量已成为研究理论物理和连续介质力学的重要工具。

本章将简单介绍三维空间中的张量，并且只使用直角坐标系。假定读者已熟悉矢量的有关运算。

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§2.1 坐标系和矢量

在空间中取一个直角坐标系Oxyz,如无特别说明，总是假定为右手系。 为简单起见，用x1、x2和x3分别代替

x、y和z。任一坐标用xi(i 1,2,3)

来表示。

空间中P点的坐标为(x,y,z)，现在可记成(x1,x2,x3)，或简单地就说P点的坐标为xi。

x2

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沿坐标轴xi的正方向取单位基矢量ei，则任一矢量u可表示成

u=u1e1+u2e2+u3e3=uiei (2.1)

上式中用了Einstein求和约定：

同一项中如有两个相同的字母下标，则这一对下标被称为哑标，表示该项要对哑标在取值范围内求和。

在哑标求和时，要特别注意拉丁字母下标和希腊字母下标的取值范围是不同的。

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从原点O到P点的矢量OP

称为P点的

矢径，用r表示。若P点的坐标为xi，则

r xiei (2.2)

由于e1、e2和e3是三个相互正交的单位矢量，根据两个矢量标量积（即点积）的定义可知

e 1,i e

j ij

0,

其中 ij称为Kronecker delta符号。

x2

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矢量a和b的点积可用分量表示成

a b aiei bjej aibjei ej aibj ij aibi (2.4)

矢量a的模(大小)

为a a 。 定义置换符号（permutation symbol）如下

1,

eijk －

1 0

如e123 e312 e231 1，e213 e321 e132 1，e112 e111 0等。

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根据叉积(矢积)的定义，得

ei ej eijkek (2.6)

eijk eijlel ek (ei ej) ek (ek ei) ej (ej ek) ei (2.7)

任意两个矢量u和v的叉积为

e1e2

u v u1u2

v1

v2

e3u3v3

(u2v3 u3v2)e1 (u3v1 u1v3)e2 (u1v2 u2v1)e3 (2.8a)

上式也可以写成

u v uiei vjej uivjei ej uivjeijkek (2.8b)

应该注意的是，叉积运算不满足交换律，事实上u v v u。

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三个矢量a、b和c的混合积是

[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk

a1 b1

c1

a2b2c2

a3b3c3

(2.9)

三个矢量混合积的大小等于以这三个矢量为共点棱的平行六面体的体积。若a、b和c构成右手系，则[a,b,c]为正，否则为负。

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下面讨论eijk和 ij之间的关系。

eijkelmn

il im in jl jm jn

(2.10)

kl km kn

则显然上式两边都为零；若i、j、k三个指标中有两个相等，

l、m、n中有两个相等时，上式两边也都为零。故在这两种

情况上式都成立。

下面假定i、j、k是三个两两互不相等的指标，l、m、n也是三个两两互不相等的指标。可以证明上式仍然成立（详细证明过程请见教材）。

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从式(2.10)得

eijkersk

ir is ik

ir is jr js ir is

jr js jk ik jk kk

jr js kr ks kr ks

kr ks kk

ir is ir is jr js ir is

3 ir js is jr

jr js jr js ir is jr js

即

eijkersk ir js is jr (2.11)

上式在矢量运算中是非常有用的。从上式很容易得到

eijkerjk ir jj ij jr 3 ir ir 2 ir (2.12)

eijkeijk 2 ii 6 (2.13)

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现在利用式(2.11)来讨论二重矢积

a (b c) aiei (bjej ckek) aiei bjckejktet

aibjckejkteitses aibjckejkteistes aibjck( ji ks js ki)es aicibses aibicses (a c)b (a b)c

即

a (b c) (a c)b (a b)c

(2.14)

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下面考虑坐标变换问题。固定原点O，把原坐标系转动到新的位置，得一新的直角坐标系Ox1 x2 x3 ，其对应的单位基矢量为ei ，如图2.2所示。新的基矢量ei

可用老的基矢量ei表示，老的基矢量ei也可用新的

基矢量ei 表示，即

ei i kek, ei j iej

(2.15)

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用ej点积上面第一式的两边，得

i j ei ej (2.16)

由于ei 和ej都是单位矢量，所以 i j是ei 和ej之间夹角的余弦。称 i j为变换系数。

由于ei 是单位正交基，ei也是单位正交基，故有

i j ei ej i kek j tet i k j k

ij ei ej k iek t jet k i k j

即

i k j k i j , k i k j ij (2.17)

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任一矢量u既可用旧坐标系中的分量表示，也可用新坐标系中的分量表示，即

u uiei ui ei

利用(2.15)，从上式可得

uiei ui j iej uj ej , ui ei ui i jej ujej即

uj j iui, uj i jui

(2.18)

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当坐标系选定之后，一个矢量u完全由它的三个分量u确定，

i

当坐标系变换时，这些分量必须按式(2.18)变换。

uj j iui, uj i jui (2.18)

因此可以给出矢量的新定义：在给定的坐标系中，有三个数ui(i 1,2,3)，在坐标变换时，按式(2.18)中的第一式变换成新的三 …… 此处隐藏：1066字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……