必修2红对勾第四章 单元评估题(一)

第四章 单元评估题(一) 时限：120分钟 满分：150分

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．由曲线y＝|x|与x2＋y2＝4所围成较小扇形的面积是( ) π

A. 43C. 4

B．π 3D.π 2

1

解析：较小扇形的圆心角为90°，故其面积是圆面积的，∴S＝

412·2＝π. 4

答案：

B

图1

2．直线l过点(－1,0)，且与圆(x－1)2＋y2＝1相切，若切点在第一象限(如图1)，则l的斜率是( )

3

A．－

3C．－3

3B. 3D.3

解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由题意

|k－0＋k|3

＝1，得k＝.

3k＋1

3

又∵切点在第一象限，∴k>0，∴k＝.

3答案：B

3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( ) A．相切 C．直线过圆心

B．相交但直线不过圆心 D．相离

1＝2

解析：直线方程可化为x－y＋1＝0，圆心到直线的距离d＝2

<1， 2

∴直线与圆相交，又∵(0,0)不在直线上， ∴直线不过圆心． 答案：B

4．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个交点，则a应满足( )

A．－3＜a＜7 C．－7＜a＜3 答案：B

5．一束光线自点P(1,1,1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么所走的路程是( )

A.37 C.33 答案：D

6．从点P(m,3)向圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长

B.47 D.57 B．－6＜a＜4 D．－21＜a＜19

的最小值是( )

A．6 C.26 答案：A

7．若圆C1：(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则实数a，b应满足的关系式是( )

A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 答案：B

8．若直线ax＋by＝1与单位圆x2＋y2＝1有两个公共点，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )

A．在圆上 C．在圆内 答案：B

9．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2

＋y2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )

73A. 3775C. 57答案：A

10．设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为( )

A．±4

B．±22 74

B.或4776D.或 67B．在圆外 D．以上皆有可能 B．5 D．4＋2

C．±2 答案：C

D．2

11．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x－1对称，则( )

A．D＋E＝2 C．D－E＝－2

B．D－E＝－1 D．D＋E＝1

DE

解析：由圆的性质可知圆心(－－在直线y＝x－1上，∴－

22ED

＝－－1，即D－E＝－2. 22

答案：C

7

12．过直线x＝－P分别作圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x

2－1)2＋y2＝9的切线，切点分别为M、N，则|PM|与|PN|的大小关系是( )

A．|PM|>|PN| C．|PM|＝|PN|

B．|PM|<|PN| D．不能确定

解析：由圆的性质可知点P、C1、M与点P、C2、N分别构成直7

角三角形，设P(－，y0)，

2

∴|PM||PC1|－r1 722

－ ＋y0－12＝2

452

y0＋

4

|PN|＝|PC2|－r2

72

－－1 2＋y0－32＝2452y0＋，

4

显然|PM|＝|PN|. 答案：C

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程为________．

解析：由题意设圆心坐标为(a,0)，

由题意得 a－2 ＋3＝5，解得a＝－2或a＝6， ∴圆的方程为(x－6)2＋y2＝25或(x＋2)2＋y2＝25. 答案：(x－6)2＋y2＝25或(x＋2)2＋y2＝25

14．已知圆的方程是x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，则该圆上距原点最近、最远的点分别是________和________．

答案：(2－2,2－2)；(－22，2＋2)

15．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．

解析：由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.

又∵|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，而A、B关于OO1轴5×5对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，即|AB|＝2×

5＝4.

答案：4

16．已知两个圆：x2＋y2＝1①，x2＋(y－3)2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________．

解析：设圆方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2①，(x－c)2＋(y－d)2＝r2②(a≠c或b≠d)，则①－②得两圆的对称轴方程为2(c－a)x＋2(d－b)y

＋a2＋b2－c2－d2＝0.

答案：2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0 三、解答题(共70分)

17．(本小题10分)已知圆的圆心在直线2x＋y＝0上，且与两直线l1：4x－3y＋10＝0，l2：4x－3y－30＝0都相切，求该圆的方程．

1|10－ －30 |

解：由已知圆的半径r＝· 4.设圆心为(a，b)，则

23＋42a＋b＝0，

|4a－3b＋10|

＝4， 4＋ －3

|4a－3b－30|2

＝4.解得a＝1，b＝－2.故所求圆的方程为(x－1)＋4＋ －3 (y＋2)2＝16.

18．(本小题12分)过A(1,2)，B(3,4)两点作一圆，使它在x轴上截得的弦长等于6，求这个圆在y轴上截得的弦长．

解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0， ∵|x1－x2|＝6，∴D2－4F＝36，

∴ D＋2E＋F＋5＝0， 3D＋4E＋F＋25＝0

D＝－8

∴ E＝－2 F＝7

2D －4F＝36

D＝12

或 E＝－22.

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