基本不等式练习题及答案

双基自测

11．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋xx＞0)的值域为( )．

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[2，＋∞) B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)

a＋b12．下列不等式：①a2＋1＞2a；②2；③x2＋≥1，其中正确的个数是 x＋1ab

( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．

1A.2 B．1 C．2 D．4

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )． x－2

A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

t2－4t＋15．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________． t

考向一 利用基本不等式求最值

11【例1】 (1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则x＋y的最小值为________；

(2)当x＞0时，则f(x)＝2x________． x＋1【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1的最小值为________． x－1

2(2)已知0＜x＜5y＝2x－5x2的最大值为________．

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

考向二 利用基本不等式证明不等式

bccaab【例2】 已知a＞0，b＞0，c＞0abca＋b＋c.

．

【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

111求证：a＋b＋c≥9.

考向三 利用基本不等式解决恒成立问题

【例3】 (2010·山东)若对任意x＞0，

________．

【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

考向三 利用基本不等式解实际问题

【例3】 某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元． n＋1xa恒成立，则a的取值范围是x＋3x＋1(1)求出f(n)的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

1【试一试】 (2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋abA．1 B．2 C．3 D．4

双基自测

D．(2，＋∞)

答案 C

2．解析 ①②不正确，③正确，x2＋112(x＋1)＋1≥2－1＝1.答案 B x＋1x＋11( )． a a－b

13．解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2ab，即ab≤2答案 A

4．解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋

＝4，当且仅当x－2＝1＋2≥2 x－2 x－2 ×12x－21x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx－2

＝3，即a＝3.答案 C

t2－4t＋115．解析 ∵t＞0，∴y＝＝t＋tt－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等

号．答案 －2

【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

112x＋y2x＋yy2xy2x∴x＋y＝x＋y＝3＋x＋y3＋22.当且仅当xy

(2)∵x＞0，∴f(x)＝2x221＝1≤2＝1，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号．答x＋1x＋x案 (1)3＋22 (2)1

【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋1＋1≥2＋1＝3 当且仅当xx－1

12＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝5·5x·(2－5x)，∵0＜x＜55x＜2,2－

1 5x＋2－5x 2＝1，∴y≤5x＝2－5x， 5x＞0，∴5x(2－5x)≤ 52 1128即x＝5时，ymax＝5.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴y＋x＝1，

8y2x 82 4yx∴x＋y＝(x＋y) xy＝10＋xy10＋2 xy≥10＋2×2× 4yxxy＝18，

4yx当且仅当xyx＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，

∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.

1答案 (1)3 (2)5 (3)18

bcca【例2】证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2

bcabcaab＝2bacb＋c≥2 cabcab＝2c；aba＋c≥2 caab bccaab ＋bc2a.以上三式相加得：2 abc ≥2(a＋

bccaabb＋c)，即abca＋b＋c.

【训练2】

111a＋b＋ca＋b＋c证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c＝aba＋b＋cbcacab ba ca cb a＋b＋ ac＋ bc 3＋3＋caabbcc

1≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝3

xx解析 若对任意x＞0≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即x＋3x＋1x＋3x＋1

可，因为x＞0，所以y＝x＝x＋3x＋1111≤当且仅当x＝1时取115x＋x＋32 xx

1 1 等号，所以a的取值范围是 5，＋∞ 答案 5

【训练3】解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案 10

12 16【例3．解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋x400)＋5 800＝900 x＋x＋5

16800(0＜x≤5)，则y＝900 x＋x＋5 800≥900×2 x×165 800＝13 000(元)， x

16当且仅当x＝x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．

【训练3】 解 (1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100元，固定成本为80元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝(10＋n＋1

80 80 *100－100－ －100n(n∈N)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n) －100n n) n＋1 n＋1

9 9n＋1＋≤520(万元)．当且仅当n＋1＝＝1 000－80 ， n＋1 n＋1

即n＝8时，利 …… 此处隐藏：1039字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……