A§3.2 立体几何中的向量方法 (2)—— 利用向量方法求角

1 §3.

2 立体几何中的向量方法 (二)

—— 利用向量方法求角

知识点一 求异面直线所成的角

已知平行六面体ABCD—A 1B 1C 1D 1的所有棱长都是1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，E 、F 分别为A 1B 1与BB 1的中点，求异面直线BE 与CF 所成角的余弦值． 解 如图所示，

解 如图所示， 设AB u u u r = a ，AD u u u r = b ，1AA u u u r = c .

则| a | = | b | = | c | =1， 〈 a,b 〉=〈b,c 〉=〈a,c 〉= 60°, ∴a ·b = b ·c = a · c = 12， 而BE u u u r =1BB u u u r +1B E u u u u r = 12- a + c . CF uuu r = CB u u u r + BF u u u r = -b + 12c , ∴|BE u u u r | ＝ 14|a |2＋|c |2－a·c ＝ 32，| CF uuu r | ＝32

. ∴BE u u u r ·CF uuu r ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋c ·⎝

⎛⎭⎫－b ＋12c ＝12a·b －14a·c －b ·c ＋12c 2＝18， cos 〈BE u u u r ，CF uuu r 〉＝BE CF BE CF ••u u u r u u u r u u u r u u u r = 16

, ∴异面直线BE 与CF 夹角的余弦值是16

. 【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解．若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便.

2 正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点．求：异面

直线AE 与CF 所成角的余弦值．

解 不妨设正方体棱长为2，分别取DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)、C(0,2,0)、

E(1,0,2)、F(1,1,2)，由AE u u u r ＝(－1,0,2)，

CF uuu r ＝(1，－1,2)，得|AE u u u r |

＝5，|CF uuu r | ＝ 6. ∴ AE u u u r ·CF uuu r ＝－1＋0＋4＝ 3.

又AE u u u r ·CF uuu r = |AE u u u r |·|CF uuu r |·cos 〈AE u u u r ,CF uuu r 〉

=30 cos 〈AE u u u r ,CF uuu r 〉,

∴cos 〈AE u u u r ,CF uuu r 〉=3010

, ∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为

3010 知识点二 求线面角

正三棱柱ABC—A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1

所成的角．

解 方法一

建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)， A 1(0,0，2a)，C 1⎝

⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，取A 1B 1中点M ，则M ⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ，连结AM 、MC 1，有

1MC u u u u r ＝⎝⎛⎭

⎫－32a ，0，0，AB u u u r ＝(0，a,0)，1AA u u u r ＝(0,0，2a)， 由于1MC u u u u r ·AB u u u r = 0，1MC u u u u r ·1AA u u u r = 0，

3 ∴MC 1⊥面ABB 1A 1.

∴∠C 1AM 是AC 1与侧面A 1B 所成的角θ. ∵1AC u u u u r = ⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a , AM u u u u r

＝⎝⎛⎭

⎫0，a 2，2a ， ∴1AC u u u u r ·AM u u u u r ＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24

. 而|1AC u u u u r | ＝3a 24＋a 2

4

＋2a 2＝3a ， |AM u u u u r |＝a 24＋2a 2＝32

a ， ∴cos 〈1AC u u u u r , AM u u u u r 〉＝9a 2

4

3a ×3a 2＝

32. ∴〈1AC u u u u r ，AM u u u u r 〉＝30°，

即AC 1与侧面AB 1所成的角为30°.

方法二 (法向量法)(接方法一)

1,AA u u u r ＝(0,0，2a)，AB u u u r ＝(0，a,0)，

设侧面A 1B 的法向量n ＝(λ，x ，y)．

∴n ·AB u u u r ＝0且n ·AA 1→＝0

∴ax ＝0，且2ay ＝0.

∴x ＝y ＝0，故n ＝(λ，0,0)．

∵ 1AC u u u u r ＝⎝⎛⎭

⎫－32a ，a 2，2a ， ∴cos 〈1AC u u u u r , n 〉＝113223a n AC n AC a λλλλ-••==-••u u u u r u u u u r .

设所求线面角为θ，则sinθ＝|cos 〈.1AC u u u u r ，n 〉|＝12

，θ＝30°. 【反思感悟】】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．