高中数学北师大版必修五达标练习：第1章 §3-3.1 第2课时 等比数列的性质 含

[A 基础达标]

1．等比数列{a n }的公比q ＝－14

，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列

B ．递减数列

C ．常数列

D ．摆动数列

解析：选D.由于公比q ＝－14

<0，所以数列{a n }是摆动数列． 2．等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116

，则a 3a 6＋a 4a 5的值是 ( ) A ．1

B ．2 C.12 D ．14

解析：选C.a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14

， 所以a 3a 6＋a 4a 5＝12

. 3．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( )

A ．10

B ．25

C ．50

D ．75

解析：选B.法一：因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，

所以a 8·a 9·a 10·a 11＝52＝25.

法二：由已知得a 1q 6·a 1q 11＝a 21q 17＝5，

所以a 8·a 9·a 10·a 11＝a 1q 7·a 1q 8·a 1q 9·a 1q 10＝a 41·q 34＝(a 21q 17)2＝25.

4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低13

，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )

A ．300元

B ．900元

C ．2 400元

D ．3 600元

解析：选C.降低后的价格构成以23

为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)．

5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

解析：选C.等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.

6．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________．

解析：因为a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，

所以a 28＋a 24＝41.

又因为a 4a 8＝5，a n >0，

所以a 4＋a 8＝

（a 4＋a 8）2 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51. 答案：51

7．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．

解析：设此三数为3，a ，b ，

则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，

（a －6）2＝3b ，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，

b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或27

8．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列．且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋z x

的值是________． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（12y ）2＝9x ×15z ，2y ＝1x ＋1z

，所以y ＝2xz x ＋z ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫24xz x ＋z 2＝135xz ，化简得15x 2＋15z 2＝34xz ，两边同时除以15xz 可得x z ＋z x ＝3415

. 答案：3415

9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．

解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则

a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，所以a ＝2，

这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，

①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，

解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．

此时三个数为－4，2，8.

②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4.

③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，

所以d ＝0(舍去)．

综上可求得此三数为－4，2，8.

10．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1b n (n ≥2，n ∈N ＋)的前n 项和． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，

因为a 23＝9a 2a 6＝9a 24，

所以q 2

＝a 24a 23＝19，因为a n ＞0，所以q ＞0，所以q ＝13， 因为2a 1＋3a 2＝2a 1＋3a 1q ＝1，所以3a 1＝1，a 1＝13

， 所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n .

(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n

＝log 3(a 1·a 2·…·a n )

＝log 3⎝⎛⎭⎫131＋2＋3＋…＋n ＝－n （n ＋1）2

. 设数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ， 则S n ＝－2⎣⎢⎡⎦

⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1） ＝－2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－2n n ＋1.

[B 能力提升]

11．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n

，若b 10·b 11＝2，则a 21＝( ) A ．20

B ．512

C ．1 013

D ．1 024

解析：选D.因为b n ＝a n ＋1a n

，且b 10·b 11＝2， 又{b n }是等比数列，

所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，

则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1

＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024.

12．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10

＝________． 解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，又a 8a 9＝a 7a 10，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10

＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158－98

＝－53. 答案：－53

13．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2的各边中点得△A 3B 3C 3，…，如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．

证明：由题意，得△A n B n C n (n ＝1，2，3…)的边长A n B n 构成首项为 …… 此处隐藏：1721字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……