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布尔代数与逻辑函数化简

时间:2025-05-15   来源:未知    
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数字逻辑

第3章 布尔代数与逻辑函数化简学习要点:

三种基本运算,基本公式、定理和规则。 逻辑函数及其表示方法。 逻辑函数的公式化简法与卡诺图化简法。 无关项及其在逻辑函数化简中的应用。

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3.1 基本公式和规则3.1.1、逻辑代数的公式和定理 (1)常量之间的关系

与运算: 0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

或运算: 0 0 0非运算: 1 0

0 1 10 1

1 0 1

1 1 1

(2)基本公式

A 0 A 0-1 律: A 1 A互补律: A A 1

A 1 1 A 0 0

A A 0

等幂律: A A A

A A A

双重否定律: A A

分别令A=0及 A=1代入这些 公式,即可证 明它们的正确 性。

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(3)基本定理

A B B A 交换律: A B B A

利用真值表很容易证 明这些公式的正确性。 如证明 A· B=B· A:A 0 0 1 1 B A.B B.A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

( A B) C A ( B C ) 结合律: ( A B) C A ( B C ) A (B C) A B A C 分配律: A B C ( A B) ( A C )

A .B A B 反演律(摩根定律): A B A B

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证明分配律:A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 分配率 (A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC A(B+C)=AB+AC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC 等幂率AA=A 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1

=A+BC

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(4)常用公式

A B A B A 还原律: ( A B ) ( A B ) A

A A B A 吸收率: A ( A B) A

A ( A B) A B A A B A B

证明: A A B ( A A )( A B)

分配率 A+BC=(A+B)(A+C) 互补率A+A=1

1 ( A B)

A B

0-1率A· 1=1

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冗余律: AB A C BC AB A C

证明: AB A C BC AB A C ( A A ) BC互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1

AB A C ABC A BC

AB(1 C ) A C (1 B)

AB A C

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3.1.2、逻辑代数运算的基本法则 (1)代入法则:任何一个含有变量A的等式,如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替,则等式仍然成立。这个 规则称为代入规则。 例如,已知等式 AB A B ,用函数Y=AC代替等式中 的A,根据代入规则,等式仍然成立,即有:

( AC ) B AC B A B C(2)反演法则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式 中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”, “1”换成“0”,原变量换成反变量,反变量换成原变量,那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规 则称为反演规则。例如:

Y AB CD E__

Y ( A B)(C D E )Y A B C D E

Y A B C D E

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(3)对偶法则:对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式 中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1” 换成“0”,而变量保持不变,则可得到的一个新的函数表达式 Y ' ,Y ' 称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如:

Y AB CD EY A B C D E

Y ( A B )(C D E )Y A B C D E

对偶规则的意义在于:如果两个函数相等,则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如:

A B A B AA( B C ) AB AC

( A B) ( A B ) AA BC ( A B)( A C)

注意:在运用反演规则和对偶规则时,必须按照逻辑运算 的优先顺序进行:先算括号,接着与运算,然后或运算,最后 非运算,否则容易出错。

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左右对偶

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5、逻辑函数及其相等概念 (1)逻辑表达式:由逻辑变量和与、或、非3种运算符 连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中,等式右边的字母 A、B、C、D等称为输入逻辑变量,等式左边的字母Y称为 输出逻辑变量,字母上面没有非运算符的叫做原变量,有非 运算符的叫做反变量。 (2)逻辑函数:如果对应于输入逻辑变量A、B、 C、…的每一组确定值,输出逻辑变量Y就有唯一确定的值, 则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为

Y f ( A, B, C, )注意:与普通代数不同的是,在逻辑代数中,不管是变 量还是函数,其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示 两种不同的状态,没有数量的含义。

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(3)逻辑函数相等的概念:设有两个逻辑函数

Y1 f ( A, B, C, )

Y2 g ( A, B, C, )

它们的变量都是A、B、C、…,如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值,Y1和Y2的值都相同,则称Y1和 Y2是相等的,记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等,则它们的真值表一定相同;反之, 若两个函数的真值表完全相同,则这两个函数一定相等。因此, 要证明两个逻辑函数是否相等,只要分别列出它们的真值表, 看看它们的真值表是否相同即可。 证明等式:

AB A BB 0 1 0 1 AB 0 0 0 1 AB 1 1 1 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 1 1 1 0

A 0 0 1 1

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1.3.3 逻辑函数的表达式一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、 与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表 示形式。

(1)与或表达式:Y A B AC (2)或与表达式:Y ( A B)( A C ) (3)与非-与非表达式:Y A B AC (4)或非-或非表达式:Y A B A C (5)与或非表达式:Y A B AC一种形式的函数表达式相应于 …… 此处隐藏:1683字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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