4.2向量组的线性相关性

4.2

向量组的线性相关性一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性

返回

向量组：同维数的向量所组成的集合.

向量组与矩阵：例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 m n aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2 n A a am 2 amj amn m1

向量组 a1, a 2, , a n 称为矩阵A的列向量组.返回

类似地, 矩阵A (aij ) a11 a21 A ai 1 am 1T 1 T 2

m n

又有m个n维行向量

a12 a22

ai 2

am 2

ain amn T m

a1n a2 n

1T 2T iTT m

向量组 , , …, 称为矩阵A的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.返回

线性方程组与n维向量的线性运算： a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm AX b.

a11 a12 a1 n b1 a21 x a22 x a2 n b2 , 即 x1 2 n am1 am 2 amn bm

b1 b2 b bm

即 x1 1 x2 2 xn n b,

则称向量b为列向量 , , , 的线性组合1 2 n

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一、向量组的线性组合定义1 给定向量组 1, 2, …, m , 对任意一组数 k1, k2, …, km 表达式 k k k ,1 1 2 2 m m

称为向量组 1, 2,…, m 的一个线性组合k , k , , k 称为线性组合的系数。1 2 m

L( 1, 2, …, m) : 1, 2, …, m 线性组合的全体.返回

定义2 给定向量组 , 1, 2, …, m , 若存在数 k1, k2, …, km 使得 k1 1 k2 2 km m ,

则称向量 为向量组 1, 2,…, m 的线性组合， 或称 可由 1, 2,…, m 线性表出.

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线性方程组与n维向量的线性运算： a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm AX b.

a11 a12 a1 n b1 a21 x a22 x a2 n b2 , 即 x1 2 n am1 am 2 amn bm 1 2 n

b1 b2 b bm

则称向量b为列向量 , , , 的线性组合即 x x x

b有解。1 1 2 2 n n

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例1 零向量是任一向量组的线性组合.

0 0 1 0 2 0 m . 例2 向量组 1, 2, …, m中任一向量都可由这个 向量组线性表出. i 0 1 0 i 1 1 i 0 i 1 0 m .

例3 R L(i , j , k ),3

因为 ( x1 , x2 , x3 ) x1i x2 j x3 k

R L( i , j ),2返回

R n L( 1 , 2 , , n ), 1 0 0 0 , 1 , , 0 . 1 2 n 0 0 1

即，任一n维向量均可由 1 , 2 , , n 线性表出. ( x1 , x2 , , xn ) x1 1 x2 2 xn n . 设 1, 2, …, m Rn, 则L( 1, 2, …, m)为Rn的一 个子空间——由 1, 2, …, m 生成的子空间.返回

定理1 设 A =( 1, 2, …, n), 则下列命题等价： 1o b L( 1, 2, …, n); 2o AX = b有解;

3o R( A) R( A).

返回

例1 将 = (1,0,-4)T 用 1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T, 3 =(1,1,0)T 线性表出.

解

x1 1 x2 2 x3 3 .( 1 2 x1 3 ) x2 x 3

求矩阵方程的解返回

例1 将 = (1,0,-4)T 用 1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T, 3 =(1,1,0)T 线性表出.

0 1 1 1 1 0 0 5 2 T T T 3 A ( 1 , 2 , 3 , ) 1 0 1 0 0 1 0 2 1 1 0 4 0 0 1 5 2

5 3 5 所以， 1 2 3 . 2 2 2返回

如何从向量组的线性表示的观点认识两矩阵的乘积？A aij

m n

, K k

ij

n l

, B b

ij

m l

, AK B1l

k k 1 ( , , , ) k1 2 n

11

k k knj

12

21

22

n1

n1

k k ( b , b , , b ) k 2l 1 2 l n1

b k k j 1j 1

n

B的列向量组能由A的列向量组线性表示， K是这一表示的系数矩阵。返回

A a

ij

m n

, K k

ij

n l

, B b

ij

m l

, AK B

(2)B的行向量组能由K的行向量组线性表示。

K A BT Tj

T

(3) AX b 有解X K ,j

AX=B有解X=K

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定理2 B : b , b , , b 能由A : , , , 线性表示1 2 l 1 2 n

R( A) R( A, B ).定理3 B : b , b , , b 能由A : , , , 线性表示1 2 l 1 2 n

R( B ) R( A)R( A) R( A, B ) R( B ) R( A) R( B ) R( A, B )

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(Ⅰ): 1, 2, …, r , (Ⅱ): 1, 2, …, s , 若组(Ⅰ) 中每一个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性 表出，则称组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.若组(Ⅰ)与 组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称组(Ⅰ)

与组(Ⅱ) 等价. 定义3 等价关系有性质：(1) 反身性：每一向量组都与自身等价； (2) 对称性： (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅱ)与(Ⅰ)等价； (3) 传递性： (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，(Ⅱ)与(Ⅲ)等价,则 (Ⅰ)与(Ⅲ)等价.返回