2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：5.2 平面向量基本定理及坐标运

§5.2

平面向量基本定理及坐

标运算

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基基础梳理

1.平面向量的基本定理不共线 如果e1、e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这 一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1 不共线 +λ2e2,其中_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向 基底 量的一组_______.

目录

2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i、j作为基底，任作一个向量a,由平面向量基本定理知， 有且只有一对实数x、y 使得a=xi+yj,我们把(x,y)叫做 (x,y) 向量a的直角坐标，记作a=________.其中x叫做a在x轴上的 坐标，y叫做a在y轴上的坐标，(x,y)叫做向量a的坐标表 示.与a相等的向量的坐标也为(x,y).显然i=(1,0),j=(0,1),

0=(0,0).

目录

3.平面向量的坐标运算 (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (x1+x2,y1+y2) 则 a+b=____________________, (x1-x2,y1-y2) a-b=_____________________.

(λx,λy) (2)已知 a=(x,y)和实数 λ,那么 λa=_________. (3)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0). x1y2-x2y1 则 a∥b 的充要条件是____________=0.(4)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2. → (5)若点 M(x1,y1),N(x2,y2),则MN=(x2-x1,y2-y1).

目录

思考探究 1.向量的坐标与点的坐标有什么区别与联系？

提示：向量的坐标是用有向线段的起点和终点的坐标来计算的，即终点的坐标减起点的同名坐标，当起点在坐标原点时， 终点的坐标就是该向量的坐标.2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件能表示 x 1 y1 成 = 吗？ x 2 y2 提示：不能，因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-

x2y1=0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2-y1y2=0, x1y1-x2y2=0等.目录

课前热身1.(2011· 高考广东卷)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4). 若 λ 为实数，(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A. 4 C.1 1 B. 2 D.2 )

解析：选 B.a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),而 c=(3,4), 1 由(a+λb)∥c 得 4(1+λ)-6=0,解得 λ= . 2目录

→ → 2.(2012· 高考广东卷)若向量AB=(1,2),BC=(3,4), → 则AC=( A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2)→ → → 解析：选 A.AC=AB+BC=(1,2)+(3,4)=(4,6),故选 A.

)

目录

3. 已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1, -2),C(3,1), → → 且BC=2AD ,则顶点 D 的坐标为( 7 A.(2, ) 2 C.(3,2) 1 B.(2,- ) 2 D.(1,3) )

答案：A

目录

→ → 4.在△ABC 中，AB=a,BC=b,若 O 为△ABC 的重心， → 则BO =________(用 a、b 表

示).

1 答案： (b-a) 3

目录

5.下列各组向量中：①e1=(-1,2),e2=(5,7);②e1=(3,5), 1 3 e2=(6,10);③e1=(2,-3),e2=( ,- ),能作为表示它们所 2 4 在平面内所有向量的基底的是________.

答案：①

目录

考点探究讲练互动考点突破考点 1 平面向量基本定理

平面向量基本定理是用已知向量来表示未知向量的理论依 据. 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加减运算或进行数乘运算.

目录

例1

如图，在平行四边形 ABCD 中，M,N 分别为 DC,BC

的中点，已知AM=c,

→

A N =d,试用 c,d 表示AB, AD .【思路分析】 分别在△ADM 和△ABN 中，利用三角形法则

→

→

→

AM=AD +DM , A N =AB+BN .

→

→

→

→

→

→

目录

【解】 法一：设AB=a,AD =b, 1 → → 则 a=AN +NB=d+(- b),① 2 1 → → b=AM+MD=c+(- a),② 2 1 1 将②代入①得 a=d+(- )[c+(- a)] 2 2 4 2 a= d- c, 3 3 1 4 2 4 2 代入②得 b=c+(- )( d- c)= c- d. 2 3 3 3 3 → 4 2 → 4 2 即AB= d- c,AD = c- d. 3 3 3 3目录

→

→

法二：设AB=a,AD =b, 因 M,N 分别为 CD,BC 的中点， → 1 → 1 所以BN = b, DM= a, 2 2

→

→

因而 1 d=a+2b,1 c=b+ a, 2

2 b=3 2c-d ,2 a= 2d-c , 3

→ 4 2 → 4 2 即AB= d- c,AD = c- d. 3 3 3 3 → 【名师点评】 本题构造了向量方程组通过解方程组求得AB,AD 的表达式.目录

→

考点2 平面向量的坐标运算向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若

已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.

目录