上海交通大学819信号与系统考研99级试卷和答案-慧易升考研

一、对应于差分方程 y(n-1)-2.5y(n)+y(n+1)=x(n) 的系统可以是稳定或不稳定的，也可以

是因果性或非因果性的。求出满足上式的所有系统的冲激响应h(n)，并说明其因果稳定性。 （20分）

211

] 解： H(z)=1/(z-2.5+z 1)=[- 1 1

31 0.5z1 2z

H(z)极点：z1=0.5，z2=2，有三种可能：

① 0.5 < |z| < 2， 对应稳定非因果系统：n<0，h(n)= -Res[H(z)zn 1,2]= -

2

(2)n 3

统

1

二、证明：

2π

1jω

Y(e)dω=(X(e)∫2π π

jω

π

1jω

dω)(X(e)∫2π π

∞

π

考研QQ

2

n≥0，h(n)= Res[H(z)zn 1,0.5]= -(0.5)n

3

2

∴ h(n)= - [(0.5)nu(n)+(2)nu(-n-1)]

3

② |z| > 2， 对应不稳定因果系统： h(n)为因果序列，取回线内极点留数得

2

h(n)= Res[H(z)zn 1,2]+ Res[H(z)zn 1,0.5]=[ (2)n- (0.5)n] u(n)

3

③ |z| < 0.5，对应不稳定非因果系统：

2

h(n)= -[ (2)n- (0.5)n] u(-n-1)

3

群

π

∫πY(e

1证：

2π

∞

1

Y(e)dω=X(e)∫2π π

jω

jω

π

学

1

=∑y(n)[

2πn=0

π

π

信

∵x(n)、y(n)均为因果序列， ∴ 上述和式中只有x(0)y(0)一项不为零，即

海交

1

2π

∫πX(e

π

π

通大

∫πX(e

jω

)e

jωn

jω

)Y(ejω)dω= x(0)y(0)

号与系

其中x(n)、y(n)均为稳定因果的实序列。 （10分）

π

jωn

[y(n)e]dω X(e)∑∫

jω

π

n=0

dω]=∑y(n)x(-n)

n=0

∞

1

x(n)=

2π

∫X(e)e

jωjωn

1

dω , y(n)=

2π

上

π

jωnjω

edω Y(e)∫

π

在上二式中取 n＝0，即得证。

三、若已知DFT [x(n)] = X(k) ，求DFT [x(n)cos(

2πm

n)] 并用X(k)表示。 N

其中 0<m<n (10分)

2πm11 mnmn

+WN解：cos(n)=(ej2πmn/N+e j2πmn/N)=(WN)

N22

：

jω

3208

)dω)

410

55

DFT [x(n)cos(

12πm mnmn

]} ] + DFT [x(n) WNn)] = {DFT [x(n)WN

2N

1

=[X((k m)N)+X((k+m)N)]

2

M 1n=0

四、设x(n)是一个M点复序列，其z变换X(z)=∑x(n)z n。欲求X(z)在单位圆上N个等距点的采样值X(zk)，zk=ej2πk/N, k = 0, 1,K, N-1 （20分）

在 N≤M和 N > M两种情况下，如何用一个N点FFT算出全部X(zk)值。

M 1

n=0

若 N = M, X(zk)=X(k) = DFT [x(n)]

则X(zk) = DFT [x0(n)], 可用N点FFT求出。

< rN N < M , zk分布在单位圆上并以N为周期, 设 (r -1)N ≤ M

M 1

n=0

利用e j2πkn/N的周期性, 有

通

大

学

信

=∑x(n)e

n=0

N 1

j2πkn/N

2N 1

号与系

X(zk)=

∑x(n)e

j2πkn/N

统

+

n=N

∑x(n)e

j2πkn/N

+K+

考研QQ

M 1

n=(r 1)N

∑x(n)e

群

0≤n≤M 1 x(n)

对N > M, 首先在x(n)末尾补零, 形成 x0(n)=

M≤n≤N 1 0

j2πkn/N

相当于将M点序列x(n)分为r段N点序列 yi(n), i=0,1,K,r 1

其中 y0(n)=x(n)RN(n), y1(n)=x(n+N)RN(n),K, )yi(n=x(n+iN)RN(n),

0≤n≤M (r 1)N 1 x[n+(r 1)N]

K, yr 1(n)=

0M r N≤n≤N (1)1

令 x0(n)=∑yi(n), 则X(zk) = DFT [x0(n)], 可用N点FFT求出。

i=0r 1

五. 用双线性变换设计一个3阶巴特沃斯数字高通，采样频率fS=6kHz，截止频率为上

海交

X(zk)=∑x(n)e

n=0

N 1

j2πkn/N

+∑x(n+N)e

n=0

N 1

j2πkn/N

M (r 1)N 1

+K+

∑x[n+(r 1)N]e

n=0

：

3208

j2πkn/N

410

解：X(zk)=

∑x(n)e

j2πkn/N

55

fC=1.5kHz(不计3kHz以上的频率分量)。 (20分) 给定模拟低通原型 Ha(p)= 1/[1+2p+2p2+p3]， 其中 p = s/ C 解： 先确定数字域截止频率ωC

ωC=2πfC/fS= 0.5π, 则 C =

22 tg(ωC/2)= TT

C1+z 11+z 1

= 代入Ha(p), 整理得 将频率变换关系 p =T 1 1

21 z1 z

六、用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器

求出所有可能的设计方案，列出h(n)的表达式，并说明其类型。（20分）

解：Q (ω)= ωα ∴ h(n)=h(N – 1 – n), )Hg(ω对ω=0偶对称,补充 π≤ω<0区间的

Hd(ejω)

号

与系

ωC≤ω±ω0≤ωC e jωα

Hd(e)=

0 ω0+ωC<ω<ω0 ωC, π≤ω< ω0 ωC,ω0+ωC<ω≤π

jω

1N 1N 1

{sin[(n ω0+ωC)]-sin[(n )(ω0 ωC)]}RN(n) N 122π(n )

2

N可以取奇数或偶数，分别对应h(n)偶对称、N为奇数的类型或h(n)偶对称、N为偶数的类型。

上

海交

h(n) =

通大

=

1

{sin[(n α)(ω0+ωC)]- sin[(n α)(ω0 ωC)]}

π(n α)

学

信

1

hd(n)=

2π

0C0C

1 jωαjωnjωjωn

edω+∫e jωαejωndω] [∫eHd(e)edω=∫2π ω0 ωC

ω0 ωC π

π ω+ω

统

考研QQ

ω+ω

群

：

ωC≤ω ω0≤ωC e jωα

Hd(e)=

0≤ω<ω0 ωC,ω0+ωC<ω≤π 0

jω

32

08

410

1 3z 1+3z 2 z 3

H(z) =

6+2z 2

55

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