大学物理授课教案 第十一章 电磁场理论基础

《大学物理》授课教案

第十一章 电磁场基本理论

本章主要阐述变化的电场将产生磁场这一结论，在最后得出电磁场的基本理论框架－麦克斯韦方程组。

11-1位移电流 全电流定律

法拉第电磁感应定律发现后，麦克斯韦为了解释感生电动势的产生，提出了变化的磁场产生电场的假说，麦克斯韦又认为电场和磁场具有对称性，变化的磁场既然能激发电场，变化的电场也必然能激发磁场。就其产生磁场来说，变化的电场与一电流等效，这个等效电流被称为位移电流。下面介绍有关位移电流的概念。

一、问题的提出

对于稳恒电流，有 H dl I ll内

对于非稳恒电流，上式是否成立？在讨论此问题之前，先说一下电流的连续性问题。在一个不含电容器的闭合电路中，传导电流是连续的，即在任一时刻，通过导体上某一截面的电流等于通过任何其他截面的电流。但在含电容器的电路中，情况就不同了，无论是电容器充电还是放电，传导电流都不能在电容器的两极间通过，这时电流就不连续了。

如图所示，在电容器充电过程中，电路中I随时间改变，是非平衡的。现在在极板A附近取回路L，并以L为边界形成曲面S1和S2，其中S1与导线相交，S2过二极板之间，与电场线相交，S1、S2构成一闭合曲面。

图11-1 对S1而言，有H dl I，对S2而言，有H dl 0 。∵上述积分应相等，∴出ll

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现了矛盾。故在非平衡电流下，安培定律H dl I不成立，必然要找新的规律。 ll内

二、位移电流的假设

如上图所示，设某一时刻A板上有电荷+q，面密度为＋ ，B板上有电荷 q 电荷面密度为－ 。充电时，则导线中传导电流为I，

dqd(S )I （S为极板面积） dtdt

d 传导电流密度为（大小）j dt

在极板间：I j 0（电流不连续）

我们知道，充电中 是变化的。∴D 和 DS（电位移通量）也是随时间变化的，它的变化率为

dDd dtdt d d(SD)d( S) dtdt dt

从上述方程看出，极板间电通量随时间的变化率在数值上等于导线内传导电流；极 dD板间电位移随时间变化等于导线内传导电流密度，并且进一步分析知j和同向，∴dt

d dD可设想和分别表示某种电流密度和电流，能把极板A、B间中断的电流接下来，dtdt

构成电流的连续性。于是，麦克斯韦引进了位移电流假设。

d e令： ID （11-1） dt

dDjD （11-2） dt

式（11-1）和（11-2）中的ID、jD分别称为位移电流和位移电流密度（极板间）。 可见，上面出现的矛盾能够解决了，即前面二个积分相等了。

注意：位移电流和传导电流的关系

（1）共同点：都能产生磁场

（2）不同点：位移电流是变化电场产生的（不表示有电荷定向运动，只表

示电场变化），不产生焦尔热；传导电流是电荷的宏观定向运

动产生的，产生焦尔热。

三、全电流环路定律

如果电流中同时存在传导电流与位移电流，那么安培环路定率可表示为

d D H dl I I I dldtll内

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d D即 H dl I （11-3） ldtl内

式（11-3）称为全电流环路定律。该式右边第一项为传导电流对磁场贡献，第二项为位移电流（既变化电场）对磁场的贡献。它们产生的磁场都来源于电场。麦克斯韦位移电流假设的根源就是变化的电场激发磁场。

说明：全电流环路定律普遍适用。

11-2麦克斯韦方程组

在一般情况下，电场可能包括静电场和涡旋电场， ∴E E静 E涡 d md B E dl E dl E dl E dl B ds ll静l涡l涡 s t ds dtdt s

同理，在一般情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场也包括位移电流产生的磁场，即

d D H dl I ldtl内

一般情况下，电磁规律可由下面四个方程来描述 D ds qs s内 E dl d m

ldt （11-4） B ds 0 s

d D H dl I ldtl内

上面四个方程称为麦克斯韦方程组（积分形式）。

例11-1：如图所示，有平行板电容器，由半径为R的两块圆形极板构成，用长直导线电dE流给它充电，使极板间电场强度增加率为，求距离极板中心连线r处的dt磁场强度。

（1）r R；

（2）r R。

解：忽略电容边缘效应，极板间电场可看作局限在半径为R内的均匀电场，由对称性可知，变化电场产生的磁场其磁力线是以极板对称轴上点为圆心的一系列圆周。

（1）r R取半径为r的磁力线为绕行回路l，绕行方向同磁力线方向。由全电流环流定律

d D H dl I ldtl内

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d D Id 有 H dl ldt H dl H dlcos0 ll

Hdl l

H 2 r D D S DScos0 r2 0E

d DdE r2 0 dtdt

dE H 2 r r2 0 dt

1dE可有 H 0r 2dt

1dE B 0H 0 0r 2dt

（2）r R

取半径为r的磁力线为回路，绕行方向同磁力线方向，由

d DHl dl dt

dddE有 H2 r DS R2 0E R2 0 dtdtdt

R2dE H 0 2rdt

R2dE 0 0得 B 0H 2rdt

例11-2：从公式证明平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为Id c

中c为电容，v为板间电压。

证：（1）平行板电容器

d DdddddvId DS S q cv c dtdtdtdtdtdt

（2）球形电容器

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