2012届高三数学复习课件(广东理)第16章第1节__合情推理与演绎推理

考纲要求

高考展望

①理解合情推理，演绎推理的思 维方式和解决问题的模式，掌握 本章内容主要体现数学思维 直接证明中的分析法、综合法与 的特点，它既是知识，又是方法， 数学归纳法，熟悉它们各自的证 同时也是能力.在高考中包含着 明模式与过程；了解间接证明的 广泛的试题，体现了技能与速度， 思维方法，能理解含有“至 试题具有较大的灵活性和综合 多”“至少”“唯一”等词的意 性.大部分试题以基础知识和知 义.②了解合情推理的含义，能 识的基本应用为手段，以考查思 应用归纳和类比进行简单的推理， 维的敏捷度和速度为目的.题型 了解演绎推理的重要意义，掌握 既有选择题和填空题，也有思维 演绎推理的一般模式，能应用演 量较大的解答题.重点考查解决 绎推理进行简单的推理.③了解 问题的基本方法.本章内容单独 直接证明的两种基本方法，即分 考查的可能性不大，呈现的背景 析法与综合法，了解间接证明的 主要是函数、数列、三角、不等 一种基本方法，即反证法，掌握 式、解析几何等. 证明的思维过程和基本特点.

1.在 ABC中，若BC AC,AC b,BC a,则 ABC a 2 b2 的外接圆半径r .将此结论拓展到空间，可得 2 出的正确结论是：在四面体S ABC中，若SA、SB、SC 两两垂直，SA a,SB b,SC c,则四面体S ABC的 外接球半径R a 2 b2 c 2 2

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2.(2009 浙江卷)设等差数列 an 的前n项和为Sn,则S4, 设等比数列 bn 成等比数列. S8 S4,S12 S8,S16 S12成等差数列.类比以上结论有：T8 的前n项积为Tn,则T4, T4 T12 ,T8 T16 ,12 T

,

3.在计算“1 2 2 3 n n 1 ”时，某同学学到了如下 一种方法：先改写第k 项： 1 k k 1 k k 1 k 2 k 1 k k 1 , 3 1 由此得1 2 (1 2 3 0 1 2), 3 1 2 3 (2 3 4 1 2 3), 3 1 n n 1 n n 1 n 2 n 1 n n 1 , 3 1 相加得1 2 2 3 n n 1 n n 1 n 2 . 3 类比上述方法，请你计算“1 2 3 2 3 4

1 n n 1 n 2 ”,其结果为 4 n n 1 n 2 n 3 .

4.类比是一个伟大的引路人.我们知道，等差数列和等 比数列有许多相似的性质，请阅读下表并根据等差数列 的结论，类似得出等比数列的两个结论：

等差数列 an=a1+(n-1)d

等比数列 bn=b1qn-1

an=am+(n-m)d若cn=__________, 则数列{cn}为等差数列a1 a2 a3 ... an n

bn= bmqn-

mn b b b ...b 若dn=____________, 1 2 3 n 则数列{dn}为等比数列

4 27 5.已知x R ,不等式x 2,x 2 3,x 3 4, , x x a x n n 1,归纳猜想a的值为 B x A.n 2 B.n n C.n3 D. 3n

归纳推理

例1:一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数 是上一行中数的个数的2倍):则第9行中的第4个数是 ( ) A. 132 B. 255 C. 259 D. 260第1行第2行 第3行

12 3 4 5 6 7

解析： 1行第1个数为1 20,第2行第1个数为2 21, 第 第3行第1个数为4 22, ,第9行第1个数为29 1 256, 所以第9行第4个数为256 3 259.答案：C

反思小结：从特殊到一般，是归纳的特点.用归纳的 方法导出一般是以审题、经验和直觉为前提的.本题 从数表的特点出发，仔细观察第一列的特征，不难发 现每行的第一个数的规律性.

拓展练习1:一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中● 表示实心圆， 表示空心圆):● ●● ●●● ●●●● ●●●●● 若将若干个圆依此规律继续下去得到一系列圆，那么在61 前2004个圆中有 个空心圆.

类比推理

例 2 : 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 ∠ C=90° , 则 cos2A+cos2B=1.那么，在空间四面体P—ABC中，是否 具有类似的结论 ?

解析： 在直角三角形ABC中，若 C 90 , AC 2 BC 2 AC 2 BC 2 则cos 2 A cos 2 B 1. 2 2 2 AB AB AB 在空间四面体P — ABC中，若平面PAC、PBC、PAB 两两垂直，且这三个侧面与底面所成的二面角分别为

、 、 ,则cos 2 cos 2 cos 2 1.

反思小结：应用类比要注意两类对象具有某些类似的特 征，并由其中一类对象的已知特征推出另一类对象也具 有这些特征.本题中，平面三角形有两条边相互垂直， 同时与第三条边所成角已知；在空间四面体中，也应有 三个面相互垂直，并同时与第四个面所成角已知，那么 由于情景和性质完全相同，就可以进行类比了.

拓展练习2: 已知 ABC的三边长为a,b,c,内切圆半 1 1 径为r (用S ABC 表示 ABC的面积),则S ABC r a b c . 2 类比这一结论有：若三棱锥A BCD的内切球半径为R, 1 则该三棱锥的体积VA BCD R( S ABC S ABD S ACD S BCD ) . 3 2 设P是边长为a的正 ABC内的一点,P点到三边的距离 3 分别为h1、h2、h3 ,则h1 h2 h3 a.类比到空间,设P是 2 棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点,则P点到四个面 的距离之和h1 h2 h3 h4 6 a 3

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