Chapter5线性微分方程组

<<常微分方程>>王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松编(第三版).高等教育出版社.完整教案.

第五章 线性微分方程组

5.1 存在唯一性定理

5.1.1 记号和定义 考察形如

a11(t)x1 a12(t)x2 a1n(t)xn f1(t) x1

x a(t)x a(t)x a(t)x f(t) 22112222nn2

(5.1)

an1(t)x1 an2(t)x2 ann(t)xn fn(t) xn

其中已知函数aij(t)(i,j,=1,2,…,n)和fi(t)(i=1,2,…,n)在区间a t b上是连续的,方程组关于x1,x2,…,xn及

x1 ,x2 ,…,xn 是线性的.

引进记号

a11(t)a12(t) a(t)a(t)

22

A(t) 21

an1(t)an2(t) a1n(t) a2n(t)

ann(t)

f1(t) x1 x1

f(t) x x 22 x x 2 f(t)

f(t)x n n xn

则原方程(5.1)可写成形式x =A(t)x+f(t).

概念

一个矩阵(或向量)在区间a t b上称为连续的,如果它的每一个元都是区间a t b上的连续函数.

一个n n矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)

b11(t)b12(t) b(t)b(t)

22

B(t) 21

bn1(t)bn2(t) b1n(t) u1(t)

u(t) b2n(t) u(t) 2

bnn(t) u(t) n

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(t)b12 (t) b11

b (t)b (t)

22

B (t) 21

1(t)bn 2(t) bn

性质

(t) b1 n(t) u1

u (t) n(t) b2

u (t) 2

(t) bnnu(t) n

(1)[A(t)+B(t)] =A (t)+B (t);

(2)[u(t)+v(t)] =u (t)+v (t);

(3)[A(t)B(t)] =A (t)B(t)+A(t)B (t); (4)[A(t)u(t)] =A (t)u(t)+A(t)u (t).

类似地, 矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间a t b上称为可积的,如果它的每一个元都在区间a t b上可积,且

b(t)dt a11

bb(t)dtb

a21

aB(t)dt

b b(t)dt an1

b

(t)dt

aa bb

22(t)dt 2n(t)dtaa bb abn2(t)dt abnn(t)dt

b b

b

12

(t)dt

b b

b

1n

bu(t)dt a1 b

bu(t)dt a2 u(t)dt a

b u(t)dt an

定义1 设A(t)是区间a t b上的连续n n 矩阵,f(t)是同一区间上的连续n维向量.方程组x =A(t)x+f(t)(5.4) 在某区间 t ([ , ] [a, b])的解就是向量u(t), 它的导数 u (t) 在区间a t b上连续且满足u (t)=A(t)u(t)+f(t), t .

定义2 初值问题x =A(t)x+f(t) x(t0)= (5.5) 的解就是方程组(5.4)在包含t0 的区间 t 上的解, 使得 u(t0)= ．

例１ 试列出下图中经过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程．

例２ 验证向量

e t u(t) t

e

是初值问题

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01 1 x x,x(0) 1

10

在区间- < t <+ 上的解.

以下方法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题. 考虑n阶线性微分方程的初值问题

(n)(n 1) ... an 1x an(t)x f(t) x a1(t)x

(5.6) (n 1)

(t0) n x(t0) 1,x(t0) 2,...,x

其中ai(t),i=1,2,…n,及f(t)都是a t b上的已知连续函数, t0 [a, b], 1,…, n 是已知常数.

可通过以下变换

x1=x, x2=x , x3=x , …, xn=x(n 1)

将上述n阶线性微分方程的初值问题化为以下线性微分方程组的初值问题:

10 0

001 x

00 0

an(t) an 1(t) an 2(t)

0

0 0

x

01 a1(t) f(t) 0

x(t0) η

x1 x1 1

x x 22

x x η 2

xxnn n

5.1.2 存在唯一性定理

方程 x =A(t)x+f(t) x(t0)= 的解的存在唯一性定理.

定理1 如果 A(t) 是 n n 矩阵, f(t) 是 n 维列向量,它们都在区间 a t b 上连续,则对于区间 a t b 上的任何数 t0 及任一 n 维常数列向量 ,方程组 x =A(t)x+f(t) 存在唯一解 (t) ,定义于区间 a t b 上,且满足初值条件 (t0)= .

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5.2 线性微分方程组的一般理论

讨论线性微分方程组 x =A(t)x+f(t)(5.14)

5.2.1 齐次线性微分方程组

设矩阵 A(t) 在区间 a≤t≤b 上连续

设 u(t) 和 v(t) 是(5.15)的齐次型方程的任意两个解, , 是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有 u(t)+ v(t) 也是其解.

定理2(叠加原理) 如果 u(t) 和 v(t) 是齐次型方程的解,则它们的线性组合 u(t)+ v(t) 也是该方程的解.

线性相关 称定义在区间 a≤t≤b 上的向量函数 x1(t), x2(t), …, xm(t) 是线性相关的,如果存在不全为零的常数 c1, c2, …, cm, 使得等式 c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cmxm(t) =0 成立;否则称为线性无关的.

朗斯基行列式 由 n 个向量函数x1(t), x2(t), …, xn(t) 构成的行列式称为朗斯基行列式.

x11(t) x(t)21

W[x1(t),x2(t),...,xn(t)] W(t)

xn1(t)x12(t) x1n(t) x22(t) x2n(t)

xn2(t) xnn(t)

定理3 如果向量函数 x1(t), x2(t), …, xn(t) 在区间 a≤t≤b 上线性相关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证)

定理4 如果齐次型方程的解 x1(t), x2(t), …, xn(t) 线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t) 0.(证)

定理5 齐次线性微分方程组一定存在 n 个线性无关的解 x1(t), x2(t), …, xn(t) .(证)

定理6 如果 x1(t), x2(t), …, xn(t) 是齐次型方程的 n 个线性无关的解,则该方程的任一解 x(t) 均可表为这 n 个线性无关解的线性组合,即: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ cnxn(t) .(证)

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