太原理工大学概率论第八章习题册答案

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第 八章 课

习题

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一.填空题

答案：3.

X 0 , u (u , ) 0 n

X 0 1.小概率原理；2. S n

;X 0

4.F 检验法 5.

0

。

n

二、选择题 答案：1、C;2、A;3、A;4、B;5、C。

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三.已知某炼铁厂的铁水含炭量 X 在某种工 艺下服从正态分布 N (4.2, 0.12 2 ) ,现改变了工 艺条件，又测了 6 炉铁水，其含炭量分别为 4.1, 3.9, 4.0, 4.3, 4.2, 4.1 (单位： 质量百分数):如果方差没有变化，能否认 为铁水平均含炭量仍为4.2 ?( 0.01) 解： 4 .2 ; H 0: 4.2对， 0.01 查 H1 : 表得： 0.995 2.58 ,所以拒绝域为

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W u

u 2.58

而对于给定的样本值，

X 4.2 u 0.83 W 0.12

所以可以认为平均含碳量仍为4.2。 四.某纺织厂生产的尼龙纤度用 Y表示,在 2 稳定生产条件下 , 可假定服从正态 N(a , ), 其标准差按往常资料暂定为0.048。现在随机 抽 取 5根 尼龙纤维 ,测得其纤 度 为 1.32,1.55,1.36,1.40,1.44, 试 问 总 体 Y 的 方差有没有显著变化。(显著性水平 =0.1)

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2 2 2 2对 解： ; : 查表 H 0: 0.1 0.048 H1 0.048 2 2 0 ( 4 ) 9 . 488 , 得： .95 0.05 ( 4) 0.711,所以拒绝域为

W 2

2 9.488或 2 0.711

而对于给定的样本值， 2 i 1 5

( X i X )2 13.56 W 2 0.048

所以方差有显著变化。

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五 、某药品广告上称该药品对某种疾病 的治愈率为 90% ,一家医院对该种药品临床 使用 120 例，治愈 85 人，问该药品广告是否 真实？( =0.02 )。H 0 : p 0.9, H1 : p 0.9,

Xi P

0 0.1

1 0.9

Y X 1 X 2 X 120 ~ B(120,0.9)E (Y ) 120.0.9 108, D(Y ) 120.0.9.0.1 10.8U Y 108 10.8 近似服从标准正态分布

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拒绝域为W {u ( , ua , )} {u ( , u0.02 )} {u ( , 2.06)}

u

85 108 10.8

6.99 W

拒绝原假设，认为该药品广告不真实。

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六、解：作假设H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 ,T X Y S1 S 22 2

6 ~ t (10 )

拒绝域 W : T t0.025 (10) 2.228

t 0.099 W , 接受原假设

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七、1) 区别：区间估计就是根据区间的可信度设立一个区间，然后从 样本统计值推出总体未知参数值的估计区间。 假设检验就是先 对总体的某一参数作一假设，然后构造样本统计量去检验，以 决定假设是否接受。 联系：在区间估计问题中，统计量含有未知参数，不能计算， 我们要通过给定统计量的范围来划定未知参数的范围，即置信 区间；在假设检验问题中，原假设给定了参数的值，于是统计 量可以计算，我们要通过考查统计量是否落入拒绝域(置信区 间),来判定是否接受原假设。

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p 八

、一袋中装有黑白两种球，表示白球所占比例， 待检验假设为： H 0 : p 1 2 H。 1 : p 1 5 从袋中任取4个球(放回抽样),当白球小于2时， H 0 ,否则接受 H0 。 拒绝 试给出以下内容：( 1)总体及其分布；( 2)样本 容量n;(3)拒绝域W; (4)犯第一类错误和第二类错误的概率。

(1)总体服从0-1分布X P 0 1 p 1 p

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2)

1 3)Y X 1 X 2 X 3 X 4 ~ B(4, ) 2 W : {Y 2} { y 0,1}

n 4

第一类错误概率：P( 接受 p 1 1 1 1 5 0 1 0 1 1 1 p ) P(W ) C 4 ( ) (1 ) 4 0 C 4 ( ) (1 ) 4 1 5 2 2 2 2 2 16

第一类错误概率：1 1 1 4 0 1 4 1 0 1 0 1 1 1 P(接受p p ) 1 P(W ) 1 C4 ( ) (1 ) C4 ( ) (1 ) 2 5 5 5 5 5 0.918

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解：(1)显著性水平

1

是犯第一类错误的概率，则10 i i C10 0.6i 0.410 i 0.0479 i 910

P( X W | H 0 ) P( X W | p 0.6) P( X 1 or X 9 | p 0.6) C 0.6 0.4 P( X W | H 1 ) 1 P( X W | H 1 ) 1 P( X 1 or X 9 | p 0.3) 1 C 0.3 0.7i 0 i 10 i 1 10 i

i 0

i 10

i

10

i C10 0.3i 0.710 i 0.8506 i 9

(2)方法同(1)

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P( X W | H 0 ) P( X W | p 0.6) P( X 7 or X 17 | p 0.6) C 0.6 0.4i 0 i 20 i 7 10 i i C 20 0.6 i 0.410 i 0.0370 i 17 20

P( X W | H 1 ) 1 P( X W | H 1 ) 1 P( X 7 or X 17 | p 0.3) 1 C 0.3 0.7i 0 i 20 i 7 10 i 20 i 17

i C 20 0.3i 0.710 i 0.2277

结论：① 两类错误之和不等于1; ② 增大样本容量，能够同时减少 两错误发生的概率。