【清华大学】物理讨论题之机械波与波动讨论课ppt振动与波动讨论题.byd501

振动与波动讨论题同组者；毕阳东.郑小萌.肖义文

假设某点接受到从一个波阵面上发出的N个相邻相位 差均为、振幅均为A、频率均为的子波，请你运用旋 转矢量法、复数方法或者别的方法给出该点合成波的 振幅及波强的定量表达式并分析波强的各种极值处的 取值。 分析问题： 先从特殊的N=2,3,4.......开始分析，找到规律，再解 决复杂的问题。

为简单起见，设Φ10=0. 当N=2时 做出平行四边形，得

A2 2 A cos 2Y2 A2 cos( 2 t

2

)

N=3时

2 A3 2 A cos A 2

Y = (2A cosΦ A)cos( 2

3 ) A2 2 A cos 2 2

2 Y3 A3 cos( 2 t ) 2

同理N=4时

3 A4 2 A[cos cos ] 2 23 Y4 A4 cos( 2 t ) 2

N=5时

4 2 A5 2 A(cos cos ) A 2 2 4 Y5 A5 ( 2 t )2

N 6时 5 3 A6 2 A(cos cos cos ) 2 2 2 5 Y6 A6 cos(2 t ) 2

此处涉及一个 cosa+cos2a+cos3a+.......+cosna=A 用构造法求解 设A=cosa+cos2a+cos3a+.......+cosna B=sina+sin2a+sin3a+......+sinna i为虚数单位，用欧拉公式 A+iB=e^(ia)+e^(i2a)+...+e^(ina),利用等比数列求 和 将e^(ia)+e^(i2a)+...+e^(ina)的和求出, 再将结果重新用欧拉公式，化为X+iY的形式, 对比A+iB与X+iY,根据复数相等的条件即可得A

由此可知

N为偶数时: N 1 N 3 AT 2 A(cos cos ..... cos ) 2 2 2 N 1 YA AT cos(2 t ) 2N为奇数时： N -1 N 3 2 AT 2 A(cos cos .....cos ) A 2 2 2 N 1 YA AT cos(2 t ) 2

得

cos a cos( n 1)a cos na 1 A 2 2 cos a代入化简， sin(N /2) N为奇数时AT A 2sin( /2) N为偶数时 sin(2n 1) sin[(n 1) / 2] AT [ ]A sin( / 4) sin( / 2)

由上述可知 N 1 YT AT cos(2 t ) 2 当N 2k 时，AT 0; 由旋转矢量法知道，夹 角大于180度会相消。

越小, 且N 2k , 很小 特别的，当 0时，AT NA1 2 2 由于波强I AT , 与A的平方成正比 2 故波强最大的时候， 0,I max 2 2 N 2 A 2 2 2 k 波强最小的时候 , 其中k 0;I min 0 N