高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案新人教A版选修

高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学案新人教A版选修2-2

1.4 生活中的优化问题举例

一、课前准备

1．课时目标

（1）了解函数极值和最值的基本应用.

（2）会用导数解决某些实际问题.

二、基础预探

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中变量之间的 ，根据实际意义确定定义域.

(2) 求函数()y f x =的导数f '(x )，解方程f '(x )＝0,求定义域内的根，确定 .

(3) 比较函数在 和极值点处的函数值，获得所求的最大（小）值.

(4) 还原到原 中作答.

三、学习引领

1. 常见的优化问题

主要有几何方面的应用，物理方面的应用，经济方面的问题等.例如，使经营利润最大、生产效率最高，或使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题.导数是解决这类问题的基本方法之一.

2.解决优化问题的方法

首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 解决优化问题的基本程序是：

读题 建模 求解 反馈

（文字语言） （数学语言） （导数应用） （检验作答）

3. 需要注意的几个问题

(1) 目标函数的定义域往往受实际问题的具体意义约束,所以在建立目标函数时,需要注意定义域的确定,并注意定义域对函数最值的影响.

(2) 如果实际问题中的目标函数在定义域上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较,但要注意说明极值点的唯一性.

四、典例导析

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题型一 几何图形中的优化问题

例1请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE =FB =x cm

（1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2

）最大，试问x 应取何值？

（2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

思路导析:明确平面图形中切割的规则,即弄清平面图形中的位置关系和数量关系,确定包装盒中位置关系和数量关系以及与平面图形的联系.问题（1）中,用底面边长把包装盒侧面积表示出来,观察其特点,用一元二次函数最值解决问题.问题(2)中,建立目标函数,依据目标函数的特征,通过求导,研究函数性质,求相应最值.

解：设该盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得 .300),30(22260,2<<-=-==x x x

h x a

（1）由题意包装盒侧面积,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值.

（2）由题意知,)20(26),300(),30(22322x x V x x x h a V -='<<-==.由0='V 得0=x （舍）或20=x .由于当)20,0(∈x 时，0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当,所以当20=x 时，V 取得极大值，而且为唯一极大值,故也是最大值,此时12h a =该盒的高与底面边长的比值为1.2

规律总结：几何图形中的优化问题,包括平面几何和空间几何体的问题,主要是对面积和体积最大或最小的优化设计.构造函数关系式,需要依据平面几何知识或空间几何特征,借助相应的公式进行. 上述题中,

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两个目标函数皆未给出,因此建立两个函数关系式是关键之一.建立函数关系式需要充分利用正四棱柱的几何特征,从而选定侧面积和体积的计算公式,.利用空间图形与平面图形数量关系的联系,进行具体计算. 因为实际问题往往会有更为具体的定义域,所以在求函数最值时,要充分注意函数定义域的影响.正确求导,并研究函数的性质,是解决该最值问题关键之二.

变式训练1今有一块边长a 的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x 值应为多少？

题型二 费用最省问题

例3某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度,长度单位：米）,其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803

π立方米，且r l 2≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.

已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用

为)3(,>c c .设该容器的建造费用为y 千元.

（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r .

思路导析:该几何体由一个圆柱和两个半球组成,而且只涉及表面积问题,所以将圆柱的侧面积和两个半球的表面积,分别用半径表示,再表示建造费用,建立函数关系式.

解:（Ⅰ）因为容 …… 此处隐藏：3052字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……