实验3-采样的时频域分析

电 子 科 技 大 学

实 验 报 告

学生姓名： 学 号： 指导教师：

一、实验室名称：数字信号处理实验室

二、实验项目名称：采样的时域及频域分析

三、实验原理：

1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。

1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘

B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。

根据傅里叶变换性质

0000()()

()()ˆˆ()()()()()()(())

FT FT

a a T n n FT a a T a T a a n n x t X j T j x t x t T x nT t nT X j X j n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞=-∞←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑

∑式中T 代表采样间隔，01T Ω=

)

(t T δ^

()T p t ^)t

由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。

C 、低通采样和Nyquist 采样定理

设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，

即为带限信号。则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的

^

()()()a a s s n x t x n T t n T δ∞

=-∞

=

-∑

信号无失真地恢复()a x t 。称2M f 为奈奎斯特频率，

12

N M

T f =为奈奎斯特间隔。

注意：

实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。

2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：

)()

a G j Ω0

m

-ΩΩ

m Ω

（1）临界采样

（2）过采样

（3）欠采样

0 T

-ΩΩ

T ΩT

-ΩΩ

T Ω0

T -ΩT ΩT -ΩT Ω0

T

-ΩT ΩT -ΩT Ω

由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。因此过采样时使用最为广泛的采样方式，当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复出信号的全部频谱特征时，则往往使用这两种采样方式。随着信号处理技术的发展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。

在理论分析中使用的带限信号在实际应用是并不存在的，因为要求该信号在时域上是无限长的，因此无论采样频率有多大，实际采样的信号都是会发生混叠的，如下图所示：

在实际应用中，我们只需使采样频率满足能够恢复出我们需要的信号即可。

3、带通采样过程及带通采样定理。

带通采样是对于带通信号进行采样的过程。

L H H L 0<||,Ω<Ω<Ω∆Ω=Ω-Ω称为带通信号的带宽。此时采样频率为

2()1221H L s f m πΩ+Ω=+其中m 是当采样频率满足122s f π≥∆Ω时最大的正整数。此时信号可以被无失真的恢复，这就是带通采样定理。

原理：采样后的带通信号同样是原信号的周期搬移叠加，但由于带通信号在某个频带不存在信号分量，采样后得到信号频谱存在间隔，当采样频率满足一定条件（不满足底通采样定理）时，同样可以无失真的恢复。示意图如下： 0 T -ΩT ΩT -ΩT Ω()a G j Ω0 m -ΩΩm Ω

（1）当最高频率H Ω是带宽的整数倍，即()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率

22()H T M ΩΩ=∆Ω=，此时有

从图中可以看出，当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信号。

（2）当最高频率H Ω不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带

通信号的()H M Ω=∆Ω，而选择的抽样频率22()H T M ΩΩ=∆Ω=

，此时有

()a G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL -Ω

0 T -ΩT

Ω()p G j Ω0 H ΩL ΩH -ΩL

-ΩH ΩL ΩL -Ω0-Ω0Ω

从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号

(拓展知识):

4、变采样率的数字信号处理

A 、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。

降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第M 个样本，而除去中间的M-1个样本：[][]y n x nM =用框图表示为

可以得到 1

1/0

1()()M M

k

M k Y z X z

W M

--==

∑

，以

2倍下抽样器为例，即L=2，可得

/2

/2

/2

(2)/2

11(){()()}{()()}2

2

j j j j j Y e

X e

X e

X e X e

ω

ωωωωπ-=

+-=

+，如下图所示

()

a G j Ω0

H

-Ω

T

-ΩT

Ω()

p G j Ω0

H ΩL ΩH

-ΩL

-Ω0-Ω0

Ω

()

j X e

ω

可以知道，在降采样率时，()j X e ω的原形状会丢失，即发生混叠现象。M 倍下抽样器的输出和输入之间傅氏变换的关系为：1(2)/01

()()M j j k M k Y e X e M ωωπ--==∑

在下抽样以前，为了避免引起混叠，信号需要通过一个低通滤波器来带限到||/M ω

π<即：

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