第五届高数竞赛理工类答案(2)

y P 五、 = = y y ( x 1) 2 + y 2 Q ( x 1) = = x y ( x 1) 2 + y 2 由格林公式得

( x 1) y 2 , 2 2 ( x 1) + y 2 ) (2

( x 1) y 2 2 2 ( x 1) + y 2 ) (2L

.

2分

∫

L +l

Pdx + Qdy = 0 ,于是 ∫ Pdx + Qdy =

∫ Pdx + Qdy ,l

3分

其中 l 为 ( x 1) + y 2 = 1 的正向，令 x 1 = cos θ , y = sin θ ,则2

I =∫

2π

0

sin θ ( sin θ ) cos θ cos θ dθ cos 2 θ + sin 2 θdθ = 2π

6分

=

∫

2π

0

7分

六、设凸弧的方程为 y = f ( x ) ,依题意得x x x3 = ∫ f ( t )dt 1 + f ( x ) . 0 2

3分

两边对 x 求导得

xy′ y = 6 x 2 1 ,即

y′ 通解为

1 1 y = 6 x . x x

y = cx 6 x 2 + 1 ,由 y (1) = 0 得 c = 5 . 故所求曲线为

6分

y = 5 x 6 x 2 + 1.

7分

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