高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

一道高中数学竞赛题在圆锥曲线中的推广

1991年四川省高中数学联合竞赛决赛第四题是一道平面几何题.原题：如图1，设 O是 ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是 O与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，求证：AK平分BC.

贵州教育学院李小雪先生应用射影几何的观点研究了此题，给出了纯几何证法的证明 文1 .湖南师范大学数学系沈文选教授在他的近作《平面几何证明方法全书》三次证明此题，方法是三角法、射影变换法、应用张角定理.由此我们可以看出此题是一道有背景的重要的几何题.我们拟给出解析证法，并把它推广到圆锥曲线中去.

在证明过程中，要用到以下引理 文2 ： （1）.若点P(x0,y0)为圆x y

2

2

图1

R2外一点，过点P引圆的两条切线方程为：

(x0x y0y R2)2 (x02 y02 R2)(x2 y2 R2)；

切点弦的方程为：x0x y0y R.

2

x2y2

（2）. 若点P(x0,y0)为椭圆2 2 1(a b 0)外一点，过点P引椭圆的两条切线方程为：

abx0xy0yx02y02x2y22

(2 2 1) (2 2 1) (2 2 1)； ababab

切点弦的方程为：

x0xy0y

2 1. 2ab

x2y2

（3）. 若点P(x0,y0)为双曲线2 2 1(a 0,b 0)外一点，过点P引双曲线的两条切线方程为：

abx0xy0yx02y02x2y22

(2 2 1) (2 2 1) (2 2 1)； ababab

切点弦的方程为：

（4）. 若点P(x0,y0)为抛物线y 2px(p 0)外一点，过点P引抛物线的两条切线方程为：

2

x0xy0y

2 1. 2ab

y0y p(x0 x)

2

(y02 2px0) (y2 2px)；

切点弦的方程为：y0y p(x x0).

1.竞赛题的解析证法

证明：如图2，以旁切圆的圆心O为原点，直线OD为y轴，过O点垂直于OD的直线为x轴.建立直角坐标系，

设旁切圆方程为x y R，则点D的坐标为（0，R），直线BC的方程为y R. 设点A的坐标为(x0,y0)，则有切点弦EF的方程为x0x y0y R………① 两条切线AF、AE的方程为

2

222

(x0x y0y R2)2 (x02 y02 R2)(x2 y2 R2)…② R2R2

). 在方程①中，令x 0，得y ，则点K的坐标为(0,y0y0

R2

y0

y0R2

x……③. 直线AK的方程为：y y0x0

将y R代入方程③解得x

x0R

.

y0 R

x0R

,R). y0 R

2

22

设AK与BC交于点M，点M的坐标为(

把y R代入方程②并整理得：(y0 R)x 2x0R(y0 R)x (y0R R) 0. 设点B、C的坐标分别为(x1,R),(x2,R)，由韦达定理得

22

x1 x2

2x0R(y0 R)2x0Rx0Rx0Rx1 x2

(,R).与点M的，中点的横坐标为，的中点坐标为BCBC

2y0 Ry0 Ry02 R2y0 R

坐标相同.

所以点M为BC的中点，即直线AK平分BC.

2.竞赛题在圆锥曲线中的推广

x2y2

定理1：如图3，椭圆2 2 1(a b 0)旁切于 ABC的BC边外，D、E、F分别是椭圆与BC、CA和AB

ab

的切点，若OD与EF交于K，则有AK平分BC.

证明：设点A坐标为(x0,y0)，点D坐标为(m,n)，AK与BC相交于点M.

mxny

1………① a2b2

由引理2可知过点A的两切线方程为：

则过点D的切线方程为：

x0xy0yx02y02x2y22

(2 2 1) (2 2 1) (2 2 1)………② ababab

x0xy0y

2 1………③ a2b

n

直线DO的方程为：y x………④

m

联立③、④可得K点坐标为：

切点弦EF的方程为

a2b2ma2b2n(2,). bmx0 a2ny0b2mx0 a2ny0

直线AK的方程为：

a2b2n b2mx0y0 a2ny02a2b2my0 a2b2nx0y 22x 22………⑤

abm b2mx02 a2nx0y0abm b2mx02 a2nx0y0

联立①⑤可得点M的横坐标：

a2b4mx02 a4b4m a4b2nx0y0 a4b2mny0 a4b2n2x0xM 422.42242222242 any0 abn bmx0 2abmnx0y0 abm

设点B、C的横坐标为xB、xC，B、C的中点横坐标为x中， 联立①②可得关于x的一元二次方程：

(a4n2y02 a4b2n2 b4x02m2 2a2b2mnx0y0 a2b4m2)x2

(2a4b4m 2a2b4mx02 2a4b2x0y0n 2a4b2mny0 2a4b2n2x0)x (a4b4x02 a6b4 a4b2n2x02 a6y02n2 2a6b2ny0) 0.由韦达定理可得

xB xCa2b4mx02 a4b4m a4b2nx0y0 a4b2mny0 a4b2n2x0x中 422

2any0 a4b2n2 b4m2x02 2a2b2mnx0y0 a2b4m2

点M与B、C中点横坐标相等，又都在切线方程①上，则它们的纵坐标也相等，这两点是同一点，

所以M为线段BC的中点，即直线AK平分BC.

x2y2

定理2：如图4，双曲线2 2 1(a 0,b 0)旁切于 ABC的BC

ab

边外，D、E、F分别是双曲线与BC、CA和AB的切点，若OD与EF交于K，

则有AK平分BC.

定理2的证明与定理1的证明类似，由于篇幅所限，不再赘述.

定理3：如图5，抛物线2

2(0)y px p =>旁切于△ABC 的BC 边外，D 、E 、F 分别是抛物线与BC 、

CA 和AB 的切点，过点D 作x 轴的平行线与EF 交于点K ，则有AK 平分BC . 证明：设点A 坐标为00(,)x y ，点D 坐标为11(,)x y ，AK 与BC 相交于点H.

则有2112y px =，过点D 的切线方程为：

11()y y p x x =+………①

由引理2可知过点A 的两切线方程为

22

20000[()](2)(2)y y p x x y px y px -+=--………②

切点弦EF 的方程为00()y y p x x =+………③

联立100()

y y y y p x x =⎧⎨=+⎩ 可求得点K 坐标为：0101(,)y y x y p -，

进而可得直线AK 方程为： 2

01000101

001001

()22p y y px y px y y y y x px y y px y y -+-=+--……④

联立①④可得点H 的横坐标：

222

2001010101101

22

0011222

200101010110122

0101

2222.222H px y y px y y y p x x px y y x p x py y py px y y px y y y p x x px y y p x p x py y +--+=

-++--+=+-

设点B 、C 的横坐标为B x 、C x ，B 、C 的中点横坐标为x 中， 联立①②可得关于x 的一元二次方程：

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