电磁场与微波技术+课件PPT(黄玉兰)

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第1章

矢量分析

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1.1

矢量代数

1.2

矢量场的散度矢量场的旋度 标量场的梯度 亥姆霍兹定理

1.3

1.4

1.5

1.6

常用坐标系

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如果在空间的一个区域中，每一点都 有一个物理量的确定值与之对应， 则在这 个区域中就构成了该物理量的场。场的一 个重要属性是它占有一个空间，它把物理 量用空间和时间的数学函数来描述。 标量 场在数学上只用一个代数变量描述，只有 大小，没有方向。 矢量场不仅需要定出大 小，而且需要定出方向。

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1.1 矢 量 代 数矢量既有大小，又有方向。矢量 A 可以表示为 A =e AA, 其中 A 表示 矢量 A 的大小， eA表示矢量 A 的方 向。

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A = exAx + eyAy + ezAz

(1.1)

由式(1.1)可以看出，一个矢量场对应 三个标量场。

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1.1.1 矢量的加法和减法两个矢量相加，等于两个矢量相应的 分量分别相加，它们的和还是一个矢量。 如图1.1(b)所示。 A+B =ex(Ax+Bx)+ey(Ay+By)+ez(Az+Bz) (1.4)

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两个矢量相减，等于两个矢量相应的 分量分别相减，它们的差依旧是一个矢量。 如图1.1(c)所示。A-B=A+(-B)=ex(Ax-Bx)+ey(Ay-By)+ez(Az-Bz) (1.5)

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图1.1 矢量加减法

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1.1.2 标量与矢量相乘标量k与矢量A相乘，结果是A的方向未 变，大小改变了k倍， kA=eAkA=exkAx+eykAy+ezkAz (1.6)

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1.1.3 矢量的点积矢量A与矢量B的点积，写成A · B , 它的结果是一个标量，其大小等于两个矢 量的大小与它们夹角θ 余弦的乘积，如图 1.2所示，表示为 A · B = AB cos θ (1 .7a) A· B=AxBx+AyBy+AzBz (1.7b)

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图1.2 点积的图示

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1.1.4 矢量的叉积矢量 A 矢量 B 的叉积，写成 A×B , 它的结果是一个矢量，其大小等于两个矢 量的大小与它们夹角θ 正弦的乘积，其方 向垂直于矢量 A 与矢量 B 组成的平面(符 合右手螺旋法则),如图1.3所示，表示为 A×B = enAB sinθ (1.8a)

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图1.3

叉积的图示及右手螺旋

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A×B =

ex Ax Bx

ey ez Ay Az By Az

(1.8c)

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例1.1 已知 A=ex3+ey4+ez2,B=ex2+ey4+ez7,求: (1)A · B; (2)A与B的夹角; (3)A×B。 解(1)A · = AxBx+AyBy+AzBz = 3×2+4+4+2×7 = 36 B

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(2)A· B 36

cosθ=A B

=32+42+22

≈0.8022+42+72