湖北省武汉市2014届高三2月调研测试 数学理试题(3)

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当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1)＝a1，∴a21＝(2－a1)，解得a1＝1．

当a1＞2时，a3＝2－(a1－2)＝4－a1，∴a1(4－a1)＝(2－a1)2，解得a1＝2－2（舍去）或a1＝22．

综上可得a1＝1或a1＝22． 6分 （Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1)＝a1＋(2－|2－a1|)，即|2－a1|＝3a1－2． 当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；

当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列． 12分

19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．

∵平面ABC⊥平面AA1C1C， ∴AA1⊥平面ABC， ∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．

由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，

→→→

∴A1B＝(0，3，－4)，A1C1＝(4，0，0)，B1C1＝(4，－3，0)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则 → n·A1B＝0， 3y－4z＝0， 即

→4x＝0． n·A1C1＝0．

令z＝3，则x＝0，y＝4，∴n＝(0，4，3)．

设直线B1C1与平面A1BC1所成的角为θ，则 →

|B1C1·n|3×412

sinθ＝|cos＜B1C1，n＞|＝．

→5×525|B1C1||n|

→

12

故直线B1C1与平面A1BC1． 6分

25→→

（Ⅱ）设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且BD＝λBC1（λ∈[0，1]），

∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，

∴x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ， →

∴AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． →

又A1B＝(0，3，－4)，

→→

由AD·A1B＝0，得3(3－3λ)－4×4λ＝0， 9

即9－25λ＝0，解得λ＝∈[0，1]．

25