单级倒立摆系统的数字最优控制器设计与仿真

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文章编号：１００８－０５７０（２００８）１０－１－００７９－０２

控制系统

单级倒立摆系统的数字最优控制器设计与仿真

ＤｅｓｉｇｎａｎｄＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＤｉｇｉｔａｌＯｐｔｉｍａｌＣｏｎｔｒｏｌｌｅｒｔｏＳｉｎｇｌｅＩｎｖｅｒｔｅｄＰｅｎｄｕｌｕｍＳｙｓｔｅｍ

（１．郑州大学信息与控制研究所；２．郑州大学电气工程学院）

冯冬青

１，２

马军磊

２

周永年

２

ＦＥＮＧＤｏｎｇ－ｑｉｎｇＭＡＪｕｎ－ｌｅｉＺＨＯＵＹｏｎｇ－ｎｉａｎ

摘要：倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题，也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。通过对单级倒立摆系统的简化模型分析，设计了带有积分环节的数字最优控制器。仿真结果表明倒立摆系统在该数字最优控制器的控制作用下，无论是系统的输出还是各个状态变量，都具有较好稳定性和一定的鲁棒性。关键词：单级倒立摆系统；数字最优控制器；系统模型；鲁棒性中图分类号：ＴＰ２７３文献标识码：Ａ

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｉｓｄｉｆｆｉｃｕｌｔｔｏｃｏｎｔｒｏｌｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｏｗｎｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｉｔｉｓａｇｏｏｄｔｅｓｔｉｎｓｔａｌｌａｔｉｏｎｔｏｃｏｎ－ｆｉｒｍｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｉｎｔｈｅａｕｔｏｍａｔｉｃｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｉｓａｎａ－ｌｙｚｅｄ，ａｎｄｔｈｅｎｄｅｓｉｇｎｅｄａｄｉｇｉｔａｌｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｗｉｔｈｉｎｔｅｇｒａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｄｔｈａｔｔｈｅｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍｈａｓａｇｏｏｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄａｄｅｇｒｅｅｏｆｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ，ｒｅｇａｒｄｌｅｓｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｏｕｔｐｕｔｏｒｅｖｅｒｙｓｔａｔｅｖａｒｉａｂｌｅ，ｉｎｔｈｅｆｕｎｃ－ｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉｇｉｔａｌｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｉｎｇｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ；ｄｉｇｉｔａｌｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；ｓｙｓｔｅｍｍｏｄｅｌ；ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ

１引言

单级倒立摆系统是一个典型的多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统，对它的研究可归结为对多变量非线性系统的研究，具有重要的理论价值。从工程应用角度看，其结构和飞机着陆、起重机械的稳钩装置以及机器人的关节运动等有很多相似之处。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。

技

术

系统中还有一个电机，一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。

创还有一些传感器，用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线

所成的角度及其微分。其控制任务是由电机通过皮带施加合适

新的力ｆ给小车从而使杆不倒，并使小车不超过左右边界。一级倒

立摆有两个运动自由度，一个沿水平方向运动，另一个绕轴转动。如图１－１４所示。

通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导，且忽略交流电机的动特性，根据牛顿第二定律可得线性化模型如下：

２倒立摆系统的状态描述

为了进行仿真研究，先给出直线型一级倒立摆的数学模型。由动力学理论可以推导出直线型一级倒立摆的运动方程，对其运动方程进行近似处理，并经拉普拉斯变换可以得到系统的状态方程。

其中：ｘ为小车的水平位移，力，

和

（１）

为施加在小车水平方向上的外

是摆杆与垂直向上方。

，

，

，并取

，

分别为小车和摆杆的质量，

，

，

，

向的夹角，是摆杆转动轴心到杆质心的长度。在本文中这些参数分别取为

定义状态变量则有状态方程：

（２）

图１车载单级倒立摆示意图

和输出方程：

（３）

２．１系统模型的推导

图１为某单级倒立摆结构示意图。图中所示的带轮小车可

该以前后移动来平衡一根杆，此杆由其底部的一个支点来支撑。

冯冬青：教授

基金项目：河南省自然科学基金资助项目（０５１１０１０８００）颁发单位：河南省科技厅

项目名称：基于遗传算法的智能控制方法研究ＰＬＣ技术应用２００例》

：元／年－

２．２系统模型离散化

根据前文描述，得倒立摆系统的连续系统模型为

（４）

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