3.2 立体几何中的向量方法(三)

时间：2026-01-16 来源：未知

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高中数学选修 2-1 第二章空间向量与立体几何高三复习

第三章空间向量与立体几何

3.2 立体几何中的向量方法(三)

高中数学选修 2-1 第二章空间向量与立体几何高三复习

一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (化为向量问题) (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； (进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

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向量的有关知识：两向量数量积的定义：a· b=|a|· cos〈a,b〉 |b|·两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 =a b a b

直线的方向向量：与直线平行的非零向量平面的法向量：与平面垂直的向量

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练习如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB,已

知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. 解: C A 6 , A B 4 , 且CA AB , BD AB , ∵CD CA AB BD BD 8 CA, BD C

B A

120

D

2 2 2 2 ∴ C D C A A B B D 2C A A B 2 A B B D 2C A B D 6 4 8 0 0 2 6 8 2 2 2

1 2

= 6817

∴

C D 2 17

答: CD 的长为 2

.

注 :利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.

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例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c , AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。BD CD 解：如图， AC a , b , 化为向量问题根据向量的加法法则 AB AC c, AB d .

B C D

CD DB

进行向量运算d2

A 图3

AB

2

( AC CD DB )

2

AB2 2

2

CD2 2 2 2

2

BD

2

2 ( AC CD AC DB CD DB )

a c b 2 AC DB a c b 2 CA DB

于是，得

2 CA DB a b c d2 2 2

2

设向量 CA 与 DB 的夹角为 , 就是库底与水坝所成的二面角。

因此

2 ab cos a b c d .2 2 2 2

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所以

cos

a b c d2 2 2

2

.

2 ab

回到图形问题

库底与水坝所成二面角的余弦值为

a b c d2 2 2

2

.

2 ab

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例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的

长为 c , AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。思考： (1)本题中如果夹角可以测出，而AB未知，

B C D A 图3

其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：由2

AB

( AC CD DB ) AB22

2 2

CD2

2

BD

2 ( AC CD AC DB CD DB )

a c b 2 ab cos 2

∴ 可算出 AB 的长。

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(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条

D1A1 B1 D A B C

C1

对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线

长为 d ,三条棱长分别为则 d2

a, ,, b c 各棱间夹角为 2

。

A1 C2

2

( AB AC CC 1 )2 2

a c b 2 ( ab bc ac ) cos d2

cos

a b c2 2

2

2 ( ab bc ac )

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(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。则 A1 E CF a sin , AE BF a cos cos cos EA 1 , FC cos A1 E , CF A 1 E CF | A 1 E || CF |2 2

D1 A1 B1 C B F

C1

D E

( A 1 A AE ) ( CB BF ) a sin 2 22 2 2

a cos a cos cos( ) a cos cos( ) a coscos 1 cos

a sin 2 2

∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

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空间“夹角”问题1.异面直线所成角设直线 l, m 的方向向量分别为a, b

若两直线 l , m

所成的角为 ( 0 ≤ ≤

2