高数 无穷级数 微分方程 曲面积分 重积分

高数 无穷级数 微分方程 曲面积分 重积分 复习

无穷级数

无穷级数是研究生入学考试《数学一》和《数学二》的重点也是难点内容之一，内容包括常数项级数的收敛与发散，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数以及它们的收敛性，正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理， 任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法，初等幂级数展开式，函函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dlrichlei）定理，函数在[-l，l]上的傅里叶级数，函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。 通过学习，同学应达到如下要求：

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.掌握ex、sinx、cosx、ln（1+x）和（1+x）α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

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一、 知识网络图

和性质 常数项级数的一般概念

常数项级数 几何级数与p级数

正项级数

交错级数，条件和绝对收敛

幂级数收敛半径

幂级数 函数的幂级数展开

幂级数的和函数

傅里叶展开 函数在对称区间上的的 傅里叶级数 三角级数

二、典型错误分析

1

例1、判断级数 是否收敛。

n 12n 1

1

0, ∴ an 0 [错解] ∵ liman lim

n n 2n 1n 1

[分析] 通项为零只是级数收敛的必要条件，即就是收敛，极限也未必为零。级数收敛的充要条件应该是cauchy收敛准则,但必要条件可以用来否定级数收敛 [正确解] lim

m,n

a

i n

m

i

lim(an an 1 am) ，考虑到m任意性， 不

m,n

m,n

lim

a

i n

m

i

lim(an an 1 am)

m,n

111

)

n 2n 12n 32n (2n 1)

妨取m 2n，于是

111111 lim( ) n 2n 1n 22n 122n 11 2

lim(

从而 上面数列发散

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注意，正项级数判别其敛散性的步骤如下： 首先考察limun

n

0发散

0需进一步判别

①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；

②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如un含形如n （α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性；

⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察 Sn

n

是否有上界。

例2、判别下列级数的敛散性

2nn! n

n 1n

[错解] 用比式判别法则 lim

un

n un 1

2nn!

n

limn

n

2n 1 n 1 !

n 1n 1

n

n 1 limn

2n

n

n

1 1

n

lim

n 2

e

1 发散 2

[分析] 此乃把正项级数的比式判别公式记颠倒了

[正确解法] 只需要后一项比前一项就可以了，显然

lim

un2

1 收敛

n uen 1

例3、判别下列级数的敛散性

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n

n 1 2n 1

n

n1

0 发散

n n 2n 12

[分析] 此乃把正项级数的根式判别公式与级数收敛的必要条件

混淆了

[正确解法] 其实以上情形同比式判别法，结果是收敛的

[错解] 用根式判别法：limun lim

n n 1

或者用比较原则

2n 1 2n 2 1

∵ 收敛 ∴ 原级数收敛

n 1 2

n

nnn

3°交错级数的敛散性的判别法 如un 0，则称 1

n 1

n 1

un u1 u2 u3 u4 为交错级数。

莱伯尼兹判别法：

如交错级数 1

n 1

n 1

un满足：

n

( i ) un un 1 ( ii ) limun 0 则 1

n 18

n 1

un 收敛，且和s u1

例4、判断下列级数的敛散性。 1

n 1

n

n 1 n

n

n

[错解] limun

limn 1 n 0 ，从而发散< …… 此处隐藏：6181字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……