4导数的四则运算法则

导数的四则运算法则

一.函数和(或差)的求导法则 设f(x),g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’=

f ’(x)±g’(x).即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差). 即 (u v)' u ' v'

证明：令y=f(x)+g(x),则 y f ( x x) g ( x x) [ f ( x) g ( x)] [ f ( x x) f ( x)] [ g ( x x) g ( x)] f g

y f g x x x y f g f g lim lim lim lim x 0 x 0 x x 0 x x x x 0 x

即 y ' ( f g ) ' f ' g '

同理可证 y ' ( f g ) ' f ' g ' 这个法则可以推广到任意有限个函数， 即 ( f1 f 2 f n ) ' f1 ' f 2 ' f n ' 二.函数积的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数，则[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g ( x) f ( x) g '( x)

两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘以第二个函数，加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，

即 (uv)' u' v uv'证:y f ( x ) u( x )v( x ),

y u( x x )v ( x x ) u( x )v ( x ) u( x x )v ( x x ) u( x )v ( x x ) u( x )v ( x x ) u( x )v ( x ), y u( x x ) u( x ) v( x x ) v ( x ) v( x x ) u( x ) . x x x

因为v(x)在点x处可导, 所以它在点x处连续, 于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而: y u( x x ) u( x ) lim lim v ( x x ) x 0 x x 0 x v ( x x ) v ( x ) u( x ) lim u ( x )v ( x ) u( x )v ( x ); x 0 x

推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函 数的导数, 即: (Cu) Cu . 三.函数的商的求导法则 设f(x),g(x)是可导的函数，g(x)≠0, 两个函数的商的导数，等于分子的导数与 分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方，

即

f ( x) f '( x) g ( x) f ( x) g '( x) [ ]' g ( x) g 2 ( x)

例1.求多项式函数f(x)= a0 x a1 xn n 1

an 1 x an 的导数。n 1

解：f ’(x)= (a0 x a1 xn

an 1 x an ) 'n 2

a0 nx

n 1

a1 (n 1) x

an 1

例2.求y=xsinx的导数。

解：y’=(x· sinx)’=x’·sinx+x· (sinx)’

=sinx+xcosx.

例3.求y=sin2x的导数。 解：y’=(2sinxcosx)’ =2(cosx· cosx-sinx· sinx)=2cos2x. 例4.求y=tanx的导数。sin x )' 解：y’= ( cos x cos x cos x sin x sin x 1 2 2 cos x cos x

1 例5.求y= · cosx的导数. x 1 解法一：y’=( x ·cosx)′ 1 1 =( )’cosx+ (cosx)′ x x1 1 3 1 2 ( x ) cos x sin x x cos x sin x 2 x x cos x 1 cos x 2 x sin x sin x x 2x x 2 x3 1 2

1 cos x 解法二：y’=( ·cosx)’=( )′ x x1 1

sin x x cos x x 2 (cos x) x cos x( x ) 2 x ( x )2

2 x x cos x 2 x sin x 2x x

x sin x

1

cos x

2 x sin x cos x 2x x

1 x 例6.求y= 的导数. 3 x(1 x) (3 x 2 ) (1 x)(3 x 2 ) 1 x 解： y ' ( )' 3 x (3 x 2 ) 2

3 x (1 x)( 2 x) x 2 x 3 2 2 (3 x ) (3 x 2 ) 22 2

练习题

1.下列曲线在点x=0处没有切线的是 (D)

(A)y=x3+sinx(B)y=x2-cosx

(C)y=x 3 x +1(D)y= x cos x

2.若f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，且f(x),g(x)满足f ’(x)=g’(x),则f(x) 与g(x)满足( B ) (A)f(x)=g(x) (B)f(x)-g(x)为常数函数

(C)f(x)=g(x)=0(D)f(x)+g(x)为常数函数

3.曲线y=x3+x2+l在点P(-1,1)处的切 线方程为 y=x+2 .

2 )处的切线的 4.曲线y=sinx在点P( , 4 2 2 倾斜角为 . arctan 2

5.函数 y=sinx(cosx+1)的导数为

y’=cos2x+cosx

.

6.已知抛物线y=x2+bx+c在点(1,2)处与 直线y=x+1相切，求b,c的值. b 1 c 2

7.若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相 切，试求k的值. 解： ∵ y=x3-3x2+2x,

∴ y’=3x2-6x+2,y’|x=0=2,又∵直线与曲线均过原点， ∴ 当直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相

切于原点时，k=2.

若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0).y0 则k= x0

又点(x0,y0)也在曲线y=x3-3x2+2x上,

∴

y0=x03-3x02+2x0,

y0 2 x0 3 x0 2 x0

又∵ y’=3x2-6x+2, ∴ k=3x02-6x0+2,

∴ x02-3x0+2=3x02-6x0+2,

∴ 2x02-3x0=0. ∵ x0≠0, ∴ x0= k=3x02-6x

3 2

1 0+2=- 4

,

1 综上所述，k=2或k=- 4

总结本节复习要点 1、基本初等函数的导数公式 2、导数的四则运算公式