8.4三元一次方程组解法举例

1.了解三元一次方程组的含义. 2.会用代入法或加减法解三元一 次方程组. 3.掌握解三元一次方程组的思想 “消元”,即将“三元”化为 “二元”或“一元”的思想.

纸币问题小明手头有12张面额分别是1元、2元、5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量 是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元的 纸币各多少张？提出问题：1.题目中有几个条件？ 2.问题中有几个未知量？ 3.根据等量关系你能列出方程组吗？

(三个量关系)每张面值

×

张数

=

钱数

1元2元 5元 合 计

xy z

x 2y5z

12

22

注

1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍， 即x=4y

分析：在这个题目中，要我们 求的有三个未知数，我们自然 会想到设1元、2元、5元的纸 币分别是x张、y张、 z张，根 据题意可以得到下列三个方程: x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.

三元一次方程组如何定义?

x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y. 定 义

含有三个未知数特点 含未知数的项次数都是一次

含有三个未知数，并且含未知数的项的次 数是一次的方程组叫做三元一次方程组。

辨 析

判断下列方程组是不是三元一次方程组? x 2 y z 3 3 x y z 2 2 xy y z 11

x y z 17 3x y 7 z 2

x y 16 3x y 2

√方程个数不一定是三个 ,但至少要有两个。

×方程中含有未知数的 个数是三个

×

方程中含有未知数的项 的次数都是一次

下面我们讨论:如何解三元一 次方程组？观察方程组： x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y. 消元三元一次方程组 二元一次方程组

① ② ③消元一元一次方程

x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y.

① ② ③

解法：消x 5 y z 12, ④ 由③代入①②得 6 y 5 z 22. ⑤ y 2, 解得 z 2.

把y=2代入③,得x=8. x 8, y 2, ∴ z 2.

总结： 解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元 ，

把 “三元” 转化为

,使解三元一 “二元”

次方程组转化为解 二元一次方程组，进 而再转化为解 一元一次方程 。

例1 解三元一次方程组3x+4z=7 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7z=8 ③ 解：②×3+③ ,得 11x+10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x+4z=7 {11x+10z=35 x=5 解这个方程组，得 {z=-2 分析：方程①中只 你还有其它解 含x,z,因此，可以由 法吗？试一试， ②③消去 y,得到一 并与这种解法 个只含 x,z的方程， 进行比较. 与方程①组成一个 二元一次方程组

{

1 把x=5,z=-2代入②,得y= 3 因此，三元一次方程组的解为

{

x=51 y= 3 z=-2

例2 解方程组 x : y 3 : 2, y : z 5 : 4, x y z 66

例3 解方程组

x y 3 y z 5 z x 4

① ② ③

1 . 化“三元”为“二元” 解 ③-②,得

x y 1①

④

原方程组中有 哪个方程还没 有用到？

x y 32. 化“二元”为“一元” x y 1

④

例3 解方程组

x y 3 y z 5 z x 4 x y 1④

① ② ③

解

③-②,得 ①+④,得 ∴ 把

2x 2 x 1 x 1 y 2 z 3

x 1代入方程①、③,分别得 y 2, z 3

所以,原方程组的解是

在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中 ，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次.

例3 也可以这样解: ①+②+③,得 即， ⑤-①,得 ⑤-②,得 ⑤-③,得

x y 3 y z 5 z x 4 2( x y z) 12

① ② ③ ④ ⑤

x y z 6z 3x 1

y 2 x 1 y 2 z 3

所以，原方程组的解是

{

例4 在等式 y=a x +bx+c中,当x=-1时,y=0;当x=2时, Y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值 解：根据题意，得三元一次方程组 a=3 a-b+c= 0 ① 把 代入①,得 b=-2 4a+2b+c=3 ② 25a+5b+c=60 ③ C=-5 ②-①, 得 a+b=1 ④ a=3 ③-①,得 4a+b=10 ⑤ 因此 b=-2 c=-5 ④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1 { 4a+b=10 答：a=3, b=-2, c=-5. a=3 解这个方程组，得{ b=-2

2

{

{

【方法归纳】类型一：有表达式，用 代入法 .

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：缺某元， 消某元 .类型三：相同未知数系数相同或相反，加减消元法

练习巩固1.解下列三元一次方程组 .

x 2 y 9, 3 x y z 4, (1) y z 3, (2) 2 x 3 y z 12, 2 z x 47. x y z 6.

2.甲、乙、丙三个数的和是35,甲数 的2倍比乙数大5,乙数的三分之一等于丙 数的二分之一.求这三个数.

小结这节课我们学习了三元一次方 程组的解法，通过解三元一次方程 组，进一步认识了解多元方程组的 思路――消元.

小结(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减 法，其中加减法比较常用. (2)解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也 是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对 象，定好消元方案. (3)解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.