(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习_第21讲_直角三角形与勾股定理

第21讲┃直角三角形与勾股定理

第21讲┃ 考点聚焦

考点聚焦考点1定义

直角三角形的概念、性质与判定直角 的三角形叫做直角三角形 有一个角是________(1)直角三角形的两个锐角互余

性质

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于 ____________ 斜边的一半

斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于 ____________判定 (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ABC= ch= ab,其中 a、b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 2 2 a+b-c c (2)Rt△ABC 内切圆半径 r= ,外接圆半径 R= ,即等于斜边的一半 2 2

拓展

第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股定理及逆定理

勾股 直角三角形两直角边 a、b 的平方和，等于斜边 a2+b2=c2 定理 c 的平方.即：____________ 如果三角形的三边长 a、b、c 勾股 逆定理 有关系： ____________ a2+b2=c2 ,那么 定理 这个三角形是直角三角形 的逆 (1)判断某三角形是否为直角三 定理 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3) 解决生活实际问题 勾股 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 数 称为勾股数

第21讲┃ 考点聚焦 考点3 互逆命题

互逆 命题 互逆 定理

如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做 ________ 原命题 ，那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________

第21讲┃ 考点聚焦 考点4 命题、定义、定理、公理

在日常生活中，为了交流方便，我们就要 定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确 的规定，也就是给他们下定义 定义 判断一件事情的句子叫做命题 分类 正确的命题称为________ 真命题 命题 假命题 错误的命题称为________ 组成 每个命题都由______ 条件 和______ 结论 两个部分组 成 公理 公认的真命题称为________ 公理 除公理以外，其他真命题的正确性都经过 定理 推理的方法证实，推理的过程称为 定理 ________ 经过证明的真命题称为________ 证明 .

第21讲┃ 归类示例

归类示例 类型之一 利用勾股定理求线段的长度

命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题.

第21讲┃ 归类示例

[2013· 四川] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 21 -1,则三角板的最大边的长为 ( D )

图 21-1 A.3 cm B.6 cm C.3 2 cm D. 6 2 cm [解

析] 如图所示，过点A作AD⊥BD,垂足为D,所以AB= 2AD=2×3=6 (cm),△ABC是等腰直角三角形，AC= 2 AB= 6 2(cm).

第21讲┃ 归类示例

在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=9,BC=12, 则点 C 到 AB 的距离是 ( ) A 36 12 9 3 3 A. B. C. D. 5 25 4 4

第21讲┃ 归类示例[解析 ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：

在 Rt△ ABC中， AC= 9, BC= 12, 根据勾股定理得： AB= AC2+BC2= 15,过 C作 CD⊥ AB,交 AB于点 D, 1 1 又 S△ ABC= AC· BC= AB· CD, 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD= = = , AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.

第21讲┃ 归类示例

勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题.

第21讲┃ 归类示例

类型之二

实际问题中勾股定理的应用

命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题.

第21讲┃ 归类示例如图 21- 2,一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 ),有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处.

图 21- 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB= 4, BC= 4, CC1= 5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点 B1到最短路径的距离.

第21讲┃ 归类示例

解： (1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1′D1, 和ACC1A1.

蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1和AC1.

第21讲┃ 归类示例

(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1到 C′1,爬过的路径的长是 l1= 42+( 4+ 5)2 = 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1,爬过的路径的长是l2= (4+4) 2+52= 89. l1>l2,最短路径的长是 l2= 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥ AC1于 E,则 B1E= ·AA1= · 5= AC1 89 89 89.

第21讲┃ 归类示例

利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度.

第21讲┃ 归类示例 类型之三 勾股定理逆定理的应用

命题角度： 勾股定理逆定理.

已知三组数据：①2,3,4;②3,4,5;③1, 3, 2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长， 构成直角三 D 角形的有 ( ) A.② B.①② C.①③ D.②③