2017挑战中考数学压轴试题复习(第十版)第一部分 专题三 因动点产生的直角三角

§1．3 因动点产生的直角三角形问题

课前导学

我们先看三个问题：

1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？

2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？

3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．

图1 图2 图3

如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O 、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B ，共6个．

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

如图4，已知A (3, 0)，B (1,－4)，如果直角三角形ABC 的顶

点C 在y 轴上，求点C 的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB 为直径的圆，快速找到两个

符合条件的点C ．

如果作BD ⊥y 轴于D ，那么△AOC ∽△CDB ．

设OC ＝m ，那么341

m m -=． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与

y 轴的两个交点． 图4

例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题

如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个．

思路点拨

1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．

2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△P AA′与△P′BB′的面积之比．

图文解析

（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．

设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝1

2

．所以y＝

1

2

x2．

（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：

图3 图4

①如图3，过点B 作BB ′的垂线交抛物线E 1于Q ，那么Q (2, 4)． ②如图4，以BB ′为直径的圆D 与抛物线E 1交于点Q ，那么QD ＝12BB '＝2． 设Q (x , x 2)，因为D (0, 2)，根据QD 2＝4列方程x 2＋(x 2－2)2＝4．

解得x ＝Q ．

（3）如图5，因为点P 、P ′分别在抛物线E 1、E 2上，设P (b , b 2)，P ′(c ,

212c )． 因为O 、P 、P ′三点在同一条直线上，所以P PM N OM ON ='，即2212c b b c

=． 所以c ＝2b ．所以P ′(2b , 2b 2)．

如图6，由A (1, 1)、B (2,2)，可得AA ′＝2，BB ′＝4．

由A (1, 1)、P (b , b 2)，可得点P 到直线AA ′的距离PM ′＝b 2－1． 由B (2,2)、P ′(2b , 2b 2)，可得点P ′到直线BB ′的距离P ′N ′＝2b 2－2． 所以△P AA ′与△P ′BB ′的面积比＝2(b 2－1)∶4(2b 2－2)＝1∶4．

图5 图6

考点延伸

第（2）中当∠BQB ′＝90°时，求点Q (x , x 2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ 2＋B ′Q 2＝B ′B 2．

所以(x －2)2＋(x 2－2)2＋(x ＋2)2＋(x 2－2)2＝42．

方法三，作QH ⊥B ′B 于H ，那么QH 2＝B ′H ·BH ．

所以(x 2－2)2＝(x ＋2) (2－x )．

例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题

如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于

点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q

个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

动感体验

请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，△BPQ有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上．

思路点拨

1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ．

2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么 …… 此处隐藏：978字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……