南京邮电大学电路分析基础 第5章2

5-5 一阶电路的全响应全响应：由储能元件的初始储能和 独立电源共同引起的响应。 下面讨论RC串联电路在直流电压源作 用下的全响应。已知：uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。

i+ t=0 C uC(0-)=U0 为了求得电容电压的全响应，以 uC(t)为变量，列出电路的微分方程 + Us -

R

duC RC uC U S dt

(t 0)

其解为

uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Ae

t RC

US

代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0,可得uC (0 ) U 0 A U S

求得

A U 0 US t RC

则：uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) (U 0 U S )euC (t ) (U 0 U S )e t

US

US

(t 0)

全响应 固有响应 强制响应 全响应 瞬态响应 稳态响应

上式可改写为uC (t ) U 0e t

U S (1 e

t

) (t 0)

全响应=零输入响应+零状态响应

也就是说电路的完全响应等于零输入 响应与零状态响应之和。这是线性动 态电路的一个基本性质，是响应可以 叠加的一种体现。

uC(t) uC(t) U0 U <U U0 U <U S S 0 0 US US uCp(t) uCzS(t) U0 -US u (t) u (t)Ch Czi

t uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

t uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)

5-6R

一阶电路的三要素法+ uC iLduC (t ) uC (t ) uS (t 0) RC dt u ( 0 ) U 0 C

+ uS -

C

iSGL

di L ( t ) i L ( t ) iS ( t 0 ) GL dt i (0 ) I 0 L

若用r(t)来表示电容电压uC(t)和电感 电流iL(t),上述两个电路的微分方程 可表为统一形式 dr ( t ) r (t ) w(t ) dt r (0 ) ( t 0)

r(0+)表示电容电压的初始值uC(0+)或电 感电流的初始值iL(0+); =RC 或 =GL=L/R;w(t)表示电压源的电压 uS或电流源的电流is。其通解为

r ( t ) rh ( t ) rp ( t ) Ae r p ( t )

t

t=0+代入，得：因而得到

A r (0 ) r p (0 ) t

r ( t ) rp ( t ) [r (0 ) r p (0 )]e , t 0

一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t) 响应的公式推广应用于任意激励下任一响应

在直流输入的情况下，t 时， rh(t) 0, rp(t)为常数，则有 rp ( t ) r ( ) r p (0 ) 因而得到r ( t ) r ( ) [r (0 ) r ( )]e , t 0 t

三要素：

r(0+) ——响应的初始值

r( ) ——响应的终值，

——时间常数 =RC, =L/R

r(t) 三要素公式的响应波形曲线

r(t) r( )<r(0+)

r( ) r(0+) r( )>r(0+)

r(0+) r( )

t t 可见，直流激励下一阶电路中任一响应 总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数 规律增长或衰减到稳态值r( ),响应的 快慢取决于的时间常数 。

注意：(1) 直流激励； (2)一阶 电路任一支路的电压或电流的(全)响 应； (3)适合于求零输入响应和零 状态响应。 直流激励下一阶电路的全响应取

决于 r(0+),r( )和 这三个要素。只要分 别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。

三要素法求直流激励下响应的步骤： 1.初始值r(0+)的计算(换路前电路已稳 定)(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。 (2)由换路定则，确定电容电压或电感电 流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和 iL(0+)=iL(0-)。(3)画0+图，求其它初始值——用数值 为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+)的 电流源替代电感，得电阻电路再计算

2,稳态值r( )的计算(画终了图) 根据t>0电路达到新的稳态，将电容用开 路或电感用短路代替，得一个直流电阻 电路，再从稳态图求稳态值r( )。 3,时间常数 的计算(开关已动作) 先计算与电容或电感连接的电阻单口网 络的输出电阻Ro,然后用公式 =RoC 或 =L/Ro计算出时间常数。 4,将r(0+),r( )和 代入三要素公式 得到响应的一般表达式。

例16 电路原处于稳定状态。求t 0的 uC(t)和i(t),并画波形图。 2 i t=0 2A + +4 0.1F uC 4 10V

-

-

解：1,计算初始值uC(0+)、i(0+) 开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4 电阻中，uC (0 ) 4 2 8V

由于开关转换时，电容电流有界，电容 电压不能跃变，故 uC (0 ) uC (0 ) 8V2

画0+图如右 2A4

+8V 4

i(0+) +10V

-

-

10 uC (0 ) 10 8 i (0 ) 1A 2 2

2,计算稳态值uC( )、i( )

换路后，经一 2A + 段时间，重新 10V 4 uC ( ) 达到稳定，电 4 容开路，终值 图如右，运用 叠加定理得 4 // 4 uC ( ) (4 // 4 // 2) 2 10 2 5 7V 2 4 // 410 uC ( ) 10 7 i ( ) 1.5A 2 2

2

i( ) +