2013北京丰台数学一模解答

北京市丰台区2013年中考数学一模 试卷 (部分题讲解)

8.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠BAC=20°.动点P、Q分别在直 线BC上运动，且始终保持∠PAQ=100°.设BP=x,CQ=y,则y与x之 间的函数关系用图象大致可以表示为( )

A

B

C

D

分 根据△ABC是等腰三角形，∠BAC=20°,则 析：∠ABC=∠ACB=80°.根据三角形的外角等于不相邻的 两内角的和，得到∠QAC=∠P,得到△APB∽△QAC, 根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得x与y的函 数关系式，即可进行判断.

解答： 解：∵△ABC中，AB=AC,∠BAC=20° ∴∠ACB=80° 又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100° ∴∠PAB+∠CAQ=80° △ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80° ∴∠AQC=∠PAB 同理：∠P=∠CAQ ∴△APB∽△QAC ∴ ,即 =

.

则函数解析式是y= . 故选A.

11.某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示.其中AB、CD分别 表示电梯出入口处的水平线，∠ABC=135°,BC的长是

m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是

5 m.

分 此题乘电梯从点B到点C上升的高度h,即为过点C到AB延长 析：线的垂线段CE的长，构造直角三角形解直角三角形即可.

解答： 解：过点C作AB的延长线的垂线CE,即乘电梯从点B到点 C上升的高度h,已知∠ABC=135°, ∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°, ∴CE=BC sin∠CBE=5 sin45°=5 =5. 即h=5, 故答案为：5.

12.(4分)(2013 丰台区一模)我们把函数图象与x轴交点的 横坐标称为这个函数的零点.如函数y=2x+1的图象与x轴交点的 坐标为(﹣ ,0),所以该函数的零点是﹣.

(1)函数y=x2+4x﹣5的零点是 ﹣5或1 ; (2)如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系 xOy中，且顶点A在x轴上. 若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先以顶点A 为中心顺时针 旋转，当顶点B落在x轴上时， 再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.顶点D的轨迹是一函 数的图象，则该函数 在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为 π+1 .分析： (1)将y=0代入y=x2+4x﹣5,得x2+4x﹣5=0,解方程求出x的值即 为所求； (2)正方形ABCD沿x轴正方向滚动时，从顶点D落在x轴上的时候 开始计算，到下一次D点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落 在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1,其顶点D从首 次落在x轴上和第二次落在x轴上时所画出的轨迹就是函数在其两个 相邻零点间的图象，画出图形，不难算出它与x轴所围区域的面 积.

解答： 解：(1)∵y=x2+4x﹣5, ∴当y=0时，x2+4x﹣5=0, 解得x=﹣5或1. 故答案为﹣5或1; (2)考察D点的运动轨迹，D点从x轴上开始运动的时候，首先 是围绕A点运动 个圆，该圆半径为1,然后以B点为中心，滚动 到C点落地，其间是以BD为半径，

旋转90°,然后以C为圆心， 再旋转90°,这时候以CD为半径，因此最终构成图象如右所示： 故其与x轴所围成的图形面积为S= π×12+ ×π×( )2+2× ×1×1=π+1. 故答案为：﹣5或1;π+1.

14.(5分)解不等式组.

考点： 解一元一次不等式组.. 专题： 计算题. 解第一个不等式得，x>﹣3,解第二个不等式得，x≤1,然后根据“大于小 分析： 的小于大的取中间”即可得到不等式组的解集. 解答： 解：解第一个不等式得，x>﹣3, 解第二个不等式得，x≤1, ∴﹣3<x≤1. 点评： 本题考查了解一元一次不等式组：先分别求出各个不等式的解集，则它们 的公共部分即为不等式组的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的 小于大的取中间，大于大的小于小的为空集”得到公共部分.

18.列方程或方程组解应用题： 去年暑期，某地由于暴雨导致电路中断，该地供电局组织电工进行抢修.供电 局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，10分钟后， 电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地.已知吉普车速度 是抢修车速度的1.5倍，求吉普车的速度.

考点： 分式方程的应用.. 分析： 先设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千米/ 时，根据时间= 列出方程，求出x的值，再进行检验，即 可求出答案. 解答： 解：设抢修车的速度为x千米/时，则吉普车的速度为1.5x千 米/时，根据题意得： ﹣ = , 解得，x=20, 经检验，x=20是原方程的解， 则1.5x=30(千米/时), 答：吉普车的速度为30千米/时.点评： 此题考查了分式方程，解题的关键是读懂题意，找出之间的 等量关系，列出方程，等量关系为：时间= .

19.如图，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°, ∠CBD=30°,∠BCD=45°,若AB=2 .求四边形ABCD的面积.

分 过点D作DE⊥BC于E,根据等腰直角三角形的性质 析： 求出AD、BD,再根据直角三角形30°角所对的直 角边等于斜边的一半求出DE,利用勾股定理列式求 出BE,判断出△CDE是等腰直角三角形，然后求出 CE的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即 可得解.

19、

19、

20.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的 ⊙O交AC于点D,E是BC的中点，连结DE. (1)求证：DE与⊙O相切； (2)连结OE,若cos∠BAD= ,BE= ,求OE的长.

分 (1)连接OD,BD,利用切线的性质 析： 得出∠ABC=∠2+∠4=90°,进而得 出∠ODE=∠1+∠3=90°,即可得出 答案； (2)根据相似三角形的判定与性质得 出△ABC∽△ADB,以及AC的长，进 而得出答案.

2)解：∵∠ABC=∠ADB,∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADB, ∴ =,.

∵AD=3,AB=4, ∴AC=,

∵OE是△ABC的中位线 ∴OE= AC=