南邮《高等数学》同步练习册(下)新答案

参考答案与提示

第7章 多元函数微分学及其应用

7.1 多元函数的概念

1、(1) {(x,y)y x2,x2 1 y}

(2){(x,y,z)x2 y2 z2,x2 y2 0} (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 0

7.2 偏导数与全微分

1、(1) ysin(xy) (2)xln(x y) xy

x y

(3)yesin(xy)cos(xy)

(4) x3

2y

(5) e xy(x2x 2

y 2x) (6) (2e y

3

2x

)dx 2xe ydy (7) 2dx (8) 0.25e 2、(1) f 11x xyyz fy xyyzlnx xyzyz 1 fz xyyzlny(2)z1 xy)y

y2

xyx (1 xy

zy (1 xy)y[ln1( xy)

1 xy] 3、 3z 3z1

x2 y

0 x y2 y2

7.3 多元复合函数求导法

1、(1) 2xyf(yx

)或2z (2) 2yf1 xexyf2 (3) 2x 1

(4) 24t3

3t2

2t (5) ex(1 x)

1 x2e

2x

(6) (2xy y2)dx (x2 2xy)dy

2、(1) ux f1 yf2 yzf3 uy xf2 xzf3 uz xyf3

(2) f1 xyf 1y2f2 xy

3

f22 (3) 2f 4x2

11

f 4xyf (4) siny(cosxf ex yfy21

23 ) ex y(f3 cosxf31 f33 ex ) 7.4 隐函数求导法

1、

2xy ycos(xy)xcos(xy) x2 2、 sin2xsin2z

sin2y

sin2z

3、2z2 2z z3

xF1 yF2 x2(z 1)3 4、z(F1 F2 ) z(F1 F2

) 5、(1) x(1 6z)2y(1 3z) x

1 3z

(2)f2 g1 uf1 (2yvg2 1)g (1 xf1 uf1 )f2 g1 (1 xf 1

f

1 )(1 2yvg2 )2 g1

(1 xf1 )(1 2yvg2 )7.5 多元函数微分学的几何应用

1、(1) x 14 y 13 z 12 (2) x y 2z

2

4 (3)

3

22

(4)

x 3y 4z3 4 12

12

1

2、x 4y 6z 21 3、x 2y 1z 6

27 28

4

4、a 5,b 2

7.6 方向导数与梯度

1、(1)

23 (2) 1

2

(3) 5 (4) 29{1,2, 2} 2、1

1ab2(a2 b2) 3、3 4、

21

{2, 4,1} 21 7.7 多元函数极值及其求法

11e 1

1、极小值：f( 2

4, 2) 2

2、最大值z(2,1) 4，最小值z(4,2) 64。 3、

8abc3 4、dmax 9 5 dmin

9 5

7.8 总 习 题

1、(1) yf y (2) 4f11

4yf 112y2f22 (3) 1 (4) 1

x 1(0,,) (5) 1 y 2 4 z 26 2、(1) B (2) C (3) C (4) D

(5) D (6) C (7) A (8) A (9) B

3、2xy y 2y3 xz

x xy

4、2xf1 (2x x2y)exyf2

x2yf11 x2yexy(2f12 exyf22 ) dy [f xy(f1 exyf2 )]dx [x2(f1 exyf2 )]dy 5、eu v

2[x(u v) y2] eu v2y(2x u v)

u vu v

dw w xdx w y

dy y

1

6、点(1,1x 12,1)处1 2 z 1 2

x 2y 2z 0 点(1,1x 1y

12

, 1)处1 2 z 12 x 2y 2z 0 8、（1）x y 111

2z 2 0和x y 2z 2 0 (2) 3

9、最大值为8，最小值为0

7.9 测 验 题

1、(1) B (2) B (3) C (4) D (5) A (6) A (7) C (8) B

2、(1) 2f11

(2sinx ycosx)f12 ysinxcosxf22 cosxf2 (2) g ( )

g( )

2

(3) 1 (4)

dx

(5)

x 1y 116 9 z 1

1 16x 9y z 24 0(6) 123

2

(7) a ab ab b

3、 0 4、u 1 fygv6 22

v f 5、

xgv xgv7

2

6、 极小值点{9,3} 极小值 3 极大值点{ 9, 3} 极大值 -3 2、(1) 2 (2)

4791

(3) 3、 4、 4223

7、9x y z 27 0或9x 17y 17z 27 0.

第8章 重积分

8.1 重积分的概念与性质

1、I1 4I2 2、(1)

D

ln(x y)dxdy [ln(x y)]2D

dxdy

(2)

(x2 y2 z2)2dv (x2

y2 z2)dv

3、(1) 4 I 36 (2) 36 I 100

(3) 32

323 I

3 3

8.2 二重积分的计算法

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分

1、(1)

42x0

dx

x

f(x,y)dy或

40

dy

yy2f(x,y)dx

4

(2) 11 x0dx x 1f(x,y)dy 或

01 yf(x,y)dx 1

1

dy

dy

1 y0

0f(x,y)dx

(3)

1e11

(y 1)0

dy

ey

f(x,y)dx (4)

1

dy

1

2f(x,y)dx

2

(y 1) 8.2.2 利用极坐标计算二重积分

1、(1)

2

2Rsin 0

d

f( cos , sin ) d

1

(2)

4d

cossin

f( cos , sin ) d (3) 20

d 2

R0

3d cos

1(4)

4cos 0

d

2d (5)

arctanRR

d 0

f(tan ) d

2、(1) 26 (2) R3 (3) 4(2ln2 1) 3、16

9

(3 4)

8.3 三重积分的计算法

8.3.1 直角坐标系下三重积分的计算法

1、(1)

1x0dx

1 0

dy

xy0

f(x,y,z)dz

(2)

2

dx

4 xx y 10 2

4 x

2

dy 0

f(x,y,z)dz

1

(3) 2

2 x2 1dxz)dz

2

1 4x 1 4x2

dy

13x2 y2

f(x,y,2、(1)

5

2

(2) 0 (3) 72 8.3.2 柱面坐标系下三重积分的计算法

3

1、(1) 2 R

0d R0

d

f( cos , sin ,z)dz

(2)

2 2

d

0 d

4

2

f( cos , sin ,z)dz

3

(3)

21

1

d 0

d 0

f( cos , sin ,z)dz

2、(1) 8 (2) 7 32

12 (3) 336 3、3

8.3.3 球面坐标系下三重积分的计算法

1、(1)

2

2

d

sin d

cos 0

f(rsin cos ,rsin sin ,

rcos )r2dr

(2)

2 0

d

40

sin d

4cos0

f(rsin cos ,rsin sin ,

rcos )r2dr

(3)

2 1

d

20

sin d 0

f(rsin cos ,rsin sin ,

rcos )r2dr

2、(1) 8

(2) 43968

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