035教师----等差数列

东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案035

等差数列

编写教师：辛颖 审稿教师：宫海静

一、知识梳理（阅读教材必修5----第36页至45页） 1.等差数列的概念

数d称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n项和公式

⑴通项公式an a1 (n 1)d，a1为首项，d为公差. ⑵前n项和公式Sn

n(a1 an)

2

或Sn na1

12

n(n 1)d.

注：①知道其中任意3个元素便可求出其余2个元素；

②数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法，an是关于n的一次函数，即（n，an）是函数f n a1 n 1 d n N* 图象上的一串间断点，这些点分布在斜率为d的直线上；Sn是关于n的二次函数，3.等差中项

如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

即：A是a与b的等差中项 2A a b a，A，b成等差数列. 4.等差数列的判定方法

⑴定义法：an 1 an d（n N ，d是常数） an 是等差数列； ⑵等差中项法：2an 1 an an 2(n N ) an 是等差数列. 5.等差数列的常用性质：

已知： an 、 bn 等差，d为数列 an 公差，m、n、p、q N* （1）a、b、c成等差数列 2b=a+c；

（2）｛kan｝，｛an+b｝，｛an+bn｝，｛kan+b｝（k、b为常数）， （3）an am n m d, n,m N ； （4）2an=an-m+an+m；

d2

是其二次项系数，d 0时，Sn必有最大值.

Sn

仍成等差数列； n

（5）若m n p q(m,n,p,q N )，则am an ap aq；

（6）等差数列 an 中，等距离抽出的子数列依然等差，即an,an k,an 2k,an 3k, 为等差数列，公差为kd； （7）如果Sn为{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…2 （8）记奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶：

若 an 共有2n项，则S偶－S奇＝nd，

S偶S奇

an 1an

；

若 an 共有2n－1项，则S奇－S偶＝an，

S奇S偶

nn 1

.

（9）三个数成等差时，一般设为a d,a,a d（d为公差）；

四个数成等差时，一般设为a 3d,a d,a d,a 3d（2d为公差）. 二、题型探究

探究一：已知等差数列的某些项，求某项.

【例1】已知 an 为等差数列，a15 8,a60 20，则a75 【解析】

a15 a1 14d 8644

a1 ,d 方法1：

1515 a60 a1 59d 20

a75 a1 74d

6415

20 845 74

4154

24

方法2： d

a60 a1560 15

15

，

415

24

a75 a60 (75 60)d 20 15

4

15a b 8 a

方法3：令an an b，则 15 a75 75a b 24

60a b 20 b 4

方法4： an 为等差数列，

a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列，

设其公差为d1，则a15为首项，a60为第4项.

a60 a15 3d1 20 8 3d d1 4 a75 a60 d1 20 4 24

方法5： an 为等差数列， (15,a15),(60,a60),(75,a75)三点共线

a60 a1560 15

a75 a6075 60

20 845

a75 2015

a75 24

探究二：已知前n项和Sn及其某项，求项数.

【例2】（1）已知Sn为等差数列 an 的前n项和，a4 9,a9 6,Sn 63，求n；

（2）若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项

数n.

【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式an a1 (n 1)d求出a1及d，代入Sn可求项数n；

（2）利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1 an，代入Sn可求项数n.

（3）设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sk 2 Sk 24，则k _________5

a1 3d 9

a1 18,d 3 【解析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，则

a1 8d 6

Sn 18n

32

n n 1 63 n 6,n 7

（2） a1 a2 a3 a4 36,an an 1 an 2 an 3 124

a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3

4(a1 an) 160 a1 an 40 Sn

n(a1 an)

2

780 20n 780 n 39

【讲评】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：(1)基本量法；(2)利用等差数列的性质. 探究三：求等差数列的前n项和

2

【例3】已知Sn为等差数列 an 的前n项和，Sn 12n n.

⑴求a1 a2 a3；

⑵求a1 a2 a3 a10； ⑶求a1 a2 a3 an.

【解题思路】利用Sn求出an，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.

2

【解析】 Sn 12n n，

当n 1时，a1 S1 12 1 11，

当n 2时，an Sn Sn 1 (12n n2) 12(n 1) (n 1)2 13 2n， 当n 1时，13 2 1 11 a1，

an 13 2n.

由an 13 2n 0，得n

132

，

当1 n 6时，an 0；当n 7时，an 0.

⑴a1 a2 a3 a1 a2 a3 S3 12 3 3 27；

⑵a1 a2 a3 a10 a1 a2 a3 a6 (a7 a8 a9 a10) 2S6 S10 2(12 6 62) (12 10 102) 52；

⑶当1 n 6时，a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an 12n n， 当n 7时，a1 a2 a3 an a1 a2 a3 a6 (a7 a8 an)

222

2S6 Sn 2(12 6 6) (12n n) n 12n 72.

2

2

【讲评】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论. 探究四：等差数列的性质应用

【例4】(1)已知Sn为等差数列 an 的前n项和，a6 100，则S11 ；

(2)已知Sn为等差数列 an 的前n项和，Sn m,Sm n(n m)，则Sm n 【解析】⑴S11

11(a1 a11)

2

11 2a6

2

11a6 1100；

2

⑵方法1：令Sn An Bn，则

An2 Bn m22

A(n m) B(n m) m n. 2

Am Bm n

n m， A(n m) B 1，

Sm n A(m n) B(m n) (m n)；

2

方法2：不妨设m n

Sm Sn an 1 an 2 an 3 am 1 am

(m n)(an 1 am)

2

n m.

a1 am n an 1 am 2， Sm n

(m n)(a1 am n)

2

(m n)；

方法3： an 是等差数列，

Sn

为等差数列 n

三点共线.

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