高等数学第九章第二节 偏导数

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第二节 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结

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一元函数导数概念的回顾定义：设 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义， 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( x0 x 仍在该邻域内 ) 相应的函数也取得增量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) y f ( x0 x ) f ( x0 ) lim lim 如果比值的极限 x 0 x x 0 x

存在

则称 y = f (x) 在 x0 处可导， 并称该极限为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记为 f ( x0 ), 即f ( x0 ) lim y f ( x0 x ) f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x

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考虑二元函数 z = f ( x , y )若将 y 固定(看作常量),则它成为一个关于 x 的 一元函数，可将其对 x 求导。

这个关于 x 的一元函数对 x 的导数，称为二元函数z = f (x , y ) 关于 x 的偏导数 同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数。 所以，z = f ( x , y ) 关于 x , y 的偏导数，实际上就 是两个一元函数的导数(将其中一个变量固定，函 数则成为另一个变量的一元函数)

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一、偏导数的定义及其计算法1 定义 设函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻域

当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时， 内有定义，相应地函数产生的增量为

f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 )

f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在， x 0 x 则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处 对 x 的偏导数，记为 z f , , z x x x0 或 f x ( x 0 , y 0 ) . y y0 x0 x x x x x y y y y00 0

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同理可定义函数 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为

f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y f z , z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . 记为 ， y y0 y x x0 y x x0y y0y y0

如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点( x , y ) 处对

x 的偏导数都存在，那么这个偏导数还是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 z f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数，简称为偏导数。 z f 记为 , , z x或 f x ( x, y) x x

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同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导数，

z f 记作 ， , z y 或 f y ( x , y ). y y

求二元函数偏导数 的方法？

上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到 n 元函数的情形。

例如：u = f ( x , y , z )f ( x x , y , z ) f ( x , y, z ) ux lim x x 0

f ( x , y y, z ) f ( x , y, z ) f y ( x , y, z ) lim , y 0 y

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例 1 求 z x 2 3 xy y 2 在点(1, 2) 处的偏导数.解: 先求偏导函数，再将点 ( 1 , 2 ) 代入。

z 2x 3 y ; x z x z yx 1 y 2

z 3x 2 y . y

2 1 3 2 8 , 3 1 2

2 7 .

x 1 y 2

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例2

设 z x y ( x 0, x 1) ,

x z 1 z 2z . 求证 y x ln x y证

z yx y 1 , x

z x y ln x , y

x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x

x y x y 2z.

原结论成立.

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x z z 例 3 设 z arcsin ,求 ， . 2 2 x y x y解1 z 2 x x 1 2

x y2

x x 2 y2 x

x 2 y2 y2 | y| ( x 2 y2 )3

( y | y |)2

| y| x y2 2

.

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x z z 例 3 设 z arcsin ,求 ， . 2 2 x y x y解

z y

1 1 x2 x 2 y2

x x 2 y2 y

x 2 y2 ( xy) | y| ( x 2 y2 )3

x 2 , y 0 2 x y x 2 , y 0 2 x y

z 不存在. 0 y x y 0

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例4

x 设 f ( x , y ) x y cos arctan , 2 y2

y

求 f x ( x , 1) , f y ( x , 1) .解

分析下列解法是否正确？

f ( x , 1) x cos2

2

arctan x x 2

f x ( x , 1) ( x 2 )'x 2 xf y( x , 1) ( x 2 )'y 0

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x 例 4 设 f ( x , y ) x y cos arctan , 2 y 求 f x ( x , 1) , f y ( x , 1) . f y( x , y) x 2 sin y arctan x 解 2 2 y y 1 x ' cos ( )y 2 1 x y y2

y

x arctan x sin 2 2 y2

y

x y cos 2( x y ) y 2

f y( x , 1) x 2

2

arctan x

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xy 2 2 例 5 设 f ( x, y) x y 0

( x , y ) ( 0, 0 ) ( x , y ) ( 0, 0 )

求 f ( x , y)的偏导数.

解

由第一节可知 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续当( x , y) (0,0)时,

y( x 2 y 2 ) 2 x xy y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x, y) 2 2 , 2 2 2 (x y ) (x y )由对称性得

x( x 2 y 2 ) f y ( x, y) 2 2 2 , (x y )

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xy 2 2 x y 设 f ( x , y ) 例 5 0 求 f ( x , y )的偏导数.

( x , y ) (0,0) ( x , y ) ( 0 ,0 )

解 当( x , y ) (0,0)时, 按定义可知：

0 f ( x , 0 ) f ( 0, 0 ) lim 0, f x (0,0) lim x 0 x x 0 x0 f ( 0, y ) f ( 0, 0 ) lim 0, f y (0,0) lim y 0 y y 0 y

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xy 2 2 x y 设 f ( x , y ) 例 5 0 求 f ( x , y )的偏导数.解

( x , y ) (0,0) ( x , y ) ( 0 ,0 )

y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x , y ) ( x y 2 )2 0 x( x 2 y 2 ) 2 f y ( x , y ) ( x y 2 )2 0

( x , y ) (0,0) , ( x , y ) (0,0) ( x , y ) (0,0) . ( x , y ) (0,0)

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有关偏导数的几点说明：1、 偏导数

u 是一个整体记号，不能拆分; x

2、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数 都存在，也不能保证函数在该点连续。 3、求分界点、不连续点处的偏导数要 用定义求； …… 此处隐藏：1239字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……