《线性代数》第2章⑴矩阵概念及运算

《线 性 代 数》

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第二章

矩

阵(matrix)

基本要求: 理解矩阵、矩阵的秩和逆矩阵的概念，熟练掌 握矩阵的运算和变换方法，会通 过矩阵的初等变换求矩阵的秩和 逆矩阵。

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第一节 矩阵的概念几其运算一、矩阵的概念 定义：由

m n 个数 aij (i 1,2, , m; j 1,2, , n.) a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn

排成 m 行 n 列的数表，称为一个 m n 矩阵。记作

矩阵一般用大写字母 A, B, C , 表示。也可简记为

A (aij ) m n 或 Am n 。3/2

只有一行的矩阵称为行阵；只有一列的矩阵称为列阵。

所有元素都为零的矩阵称为零阵，记为 O 或 Om n。两个矩阵相比较，行数相同列数也相同的矩阵称为 同型矩阵。 两个同型矩阵，如果对应元素都相同，则称为相等 矩阵。 注意： ⑴因为矩阵是一个数表，所以两个矩阵不能比较大小。 ⑵同为 O 矩阵，因行列数不同也不是相等矩阵。4/2

二、矩阵的运算⒈矩阵的加减法 定义：两个 m行 n列矩阵 A (aij )和 B (bij ) 中的对应 元素相加减得到的 m行 n 列矩阵，称为矩阵 A 与 B 的

代数和，记作 A B即

A B (aij ) m n (bij ) m n (aij bij ) m n

条件：同型矩阵 方法：对应元素相加减 结果：同型矩阵 5/2

满足运算律：A ⑴ 加法交换律： B B A A ⑵ 加法结合律： ( B C ) ( A B) C ⑶ A O A ⑷ A A O

例如 1 4 7 1 0 0 1 1 4 0 7 0 2 4 7 2 5 8 0 1 0 2 0 5 1 8 0 2 6 8 3 6 9 0 0 1 3 0 6 0 9 1 3 6 10

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⒉数与矩阵相乘(数乘矩阵) 定义：以数 k 乘矩阵 A 的每一个元素所得到的矩阵，称为数 k 与矩阵 A 的积，记为 kA k (aij ) (kaij )。矩阵)与一个矩阵 条件：一个数(非一阶 每一个元素上 方法：将数乘到矩阵的 结果：同型矩阵

满足运算律： k ( A B) kA kB 乘法分配律： (k l ) A kA lA kl 乘法结合律：( ) A k (lA) l (kA) 1 A A, 1) A A, A O. ( 0

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⒊矩阵的乘法 定义：设矩阵 A (aij ) m p , B (bij ) p n ,则由元素cij ai1b1 j ai 2 b2 j aip b pj aik bkjk 1 p

(i 1,2, , m; j 1,2, , n; k 1,2, , p)

所构成的 m n 列矩阵 C (cij ) m n 称为矩阵 A 与 B 的 行

乘积，记作 C AB 条件：左乘矩阵的列数 与右乘矩阵的行数相同 一行遍乘右乘矩阵的各 列 方法：将左乘矩阵的每 行数与左乘矩阵的行数 相同 结果：仍为一矩阵，其 阵的列数相同。 其列数与右乘矩8/2

例如 3 1 3 1 ( 1) 2 3 ( 2) ( 1) 1 3 3 ( 1) 0 1 7 0 ( 2) 3 1 0 3 3 0 6 3 0 3 1 2 3 0 1 3 2 1 4 2 1 0 1 1 4 2 1 ( 2) 4 1 1 3 4 0 9 2 2 1 2 1 1 2 2 ( 2) 1 1 2 3 1 0 4 3 9 0 3 6

例如 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1

a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm a12 a 22 am2 a1n x1 b1 a 2 n x 2 b2 AX B a mn x n bn

a11 a 21 a m1

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满足运算律：( AB 乘法结合律： )C A( BC) 左分配 A( B C ) AB AC 乘法分配律： (B 右分配 C ) A BA CA 数乘结合律： ( AB) (kA) B A(kB) k

不满足运算律：AB 乘法交换律： BA AC 消 去 律：由 BC A B 零因子推断律：由 O A O或B O AB

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例1:已知 2 4 A 1 2

4 2 B 3 6

8 8 C 0 4

求 AB, BA, AC. 4 16 2 4 2 解 AB 1 2 3 6 8 2 4 8 8 16 AC 1 2 0 4 8 4 2 4 0 2 BA 3 6 1 2 0

32 16

32 16

0 0 11/2

⒋矩阵的转置定义：将m n 矩阵 A 的行与列互换，得到的 n m 矩阵,称为矩阵 A 的转置矩阵,记作 A T 或 A / 。 性质：

⑴ ) A (AT TT T

(还原性)T

⑵ B) A B (A

⑶ ) kA (kATT T

TT

⑷ ) B A ( AB

(反序性)12/2

例2 设 计算 解 和

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第二节 几个特殊矩阵及其性质定义：行列数相同的矩阵称为方阵，记为 An , 其中 称为方阵的阶。特别地，一阶方阵就是一个 数，记作 A (a11 ) a11 。

n

⒈方阵的幂(方阵的自乘——满足交换律)

Ak A A A 定义： 性质： A k1 A k2 ⑴ ⒉方阵的行列式 a11 a12 定义： a 21 a 22 A a n1 a n 2k个

(A Ak1 k2 ⑵ k1 ) k2 Ak1 k2 a1n a2n (或 det A) a nn14/2

性质：⑴ T A A

⑵ n A A

定理：方阵乘积的行列式等于各因子行列式的乘积。

AB BA A B此定理称为方阵的行列式定理。其结论简明、自然，但它 的证明很复杂，并且需要用到特殊的构造性技巧，此处从略。 例1设矩阵 解： 2 3 2 0 A 1 2 B 1 4

求

AB

2 3 2 0 7 12 AB 1 2 1 4 0 8

7 12 AB 56 0 8 2 3 2 0 或 A 7 B 8 1 2 1 4 AB 7 ( 8) 5615/2

⒊对角阵 定义：主对角线以外 …… 此处隐藏：732字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……