2012考研数学归纳笔记(12)

a1

( 1)1( 1 2 n)； a0

a2

( 1)2 i1 i2； a00 i1 i2 n

an

( 1)n 1 2 n. a0

我们记

0( 1, 2, , n) 1；

1( 1, 2, , n) 1 2 n；

r( 1, 2, , n)

i1i2

0 i1 i2 ir n

i；

r

n( 1, 2, , n) 1 2 n

（ 1, 2, , n称为 1, 2, , n的初等对称多项式）。于是有

定理2.5 (韦达定理) 设f(x) a0xn a1xn 1 an，其中ai K,a0 0。设

f(x) 0的复根为 1, 2, , n。则

a1

( 1)1 1( 1, 2, , n)； a0

a2

( 1)2 2( 1, 2, , n)； a0

an

( 1)n n( 1, 2, , n). a0

命题 给定R上n次方程

a0x a1x

n

n 1

...... an 1x an 0， a0 0，

如果 a bi是方程的一个根，则共轭复数 a bi也是方程的根。

证明 由已知，

a0 n a1 n 1 ...... an 1 an 0.