2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(14)

下面我们对v2(k) v用数学归纳法． 当v 0时，k为奇数，k 1为偶数，此时

1 1 1

f(r) k k k k 1

2 2 2

为整数． 假设命题对v 1(v 1)成立．

对于v 1，设k的二进制表示具有形式

k 2v v 1 2v 1 v 2 2v 2 ，

这里， i 0或者1，i v 1,v 2, ． 于是 f(r) k

1 1 1

1 k k k 2 2 2

1k

k2 k 221v 1vv 12v

2 ( v 1 1) 2 ( v 1 v 2) 2 2

2

1

k ， ①

2

这里

k 2v 1 ( v 1 1) 2v ( v 1 v 2) 2v 1 22v .

显然k 中所含的2的幂次为v 1．故由归纳假设知，r k 由①知，f

(v 1)

1

经过f的v次迭代得到整数，2

(r)是一个整数，这就完成了归纳证明．

3. 由0 ak 1知，对1 k n 1，有0

a

i 1

k

i

k,0

i k 1

a

n

i

n k．

注意到当x,y 0时，有x y max x,y ，于是对1 k n 1，有

1n 11 k

An Ak ai ai

ni k 1 nk i 11n 11 k

ai ai

ni k 1kn i 1 1n

max ai,

ni k 1

11 k ai kn i 1